Bài toán biện luận số nghiệm phương trình chứa tham số bằng đồ thị

Một dạng toán tương giao đồ thị hàm số quan trọng mà ta thường gặp là bài toán biến luận số nghiệm của phương trình theo tham số bằng phương pháp đồ thị. Bài toán mà ta thường gặp như sau:

Ở đây ta sẽ giải câu b) bằng cách dựa và đồ thị (C) đã được vẽ ở câu a). Ta làm như sau:

Xem thêm: Bài toán tương giao đồ thị hàm số

Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0$ (*)

Giải

a. Dành cho bạn đọc.

Đồ thị (C)

b. Ta có: $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} – 3{x^2} + 1 = m+2$

Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = m+2$

• Với $\left[ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\m + 2 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > – 1\end{array} \right.$ thì d và (C) có một điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có một nghiệm.
• Với $\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 1\end{array} \right.$ thì d và (C) có hai điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm.
• Với $0 < m + 2 < 1 \Leftrightarrow – 2 < m < – 1$ thì thì d và (C) có ba điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có ba nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$ có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b. Tìm k để phương trình $- {x^4} + 4{x^2} – 3 – m = 0$ (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải

a. Dành cho bạn đọc.

Đồ thị (C)

b. Ta có: ${x^4} – 4{x^2} + 3 = – m$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = -m$.

Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.

$ \Rightarrow – 1 < – m < 3 \Leftrightarrow – 3 < m < 1$

Vậy với – 3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Một số bài tập nâng cao tham khảo:

Bài 1:  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4$. Tìm m để phương trình $2{\left| x \right|^3} – 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ có sáu nghiệm phân biệt.

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$. Tìm m để phương trình ${\left| {x – 1} \right|^3} – 3\left| {x – 1} \right| – m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$. Tìm m để phương trình $\left| {\dfrac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + \dfrac{3}{4}} \right| = m$ có đúng tám nghiệm phân biệt.