Chú ý: Để có kinh phí duy trì website, chúng tôi có đặt một số quảng cáo, trong đó có một quảng cáo popup, mong các bạn thông cảm!

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một trong số những dạng toán khó trong các đề thi đại học là bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Tuy nhiên, đối với những hàm số một biến thì việc tìm GTLN và GTNN khá dễ dàng, ta chỉ cần nắm được các phương pháp cơ bản là có thể tìm được. Trong bài viết này, ta sẽ tìm hiểu thế nào là GTLN, GTNN và phương pháp tìm GTLN, GTNN của các hàm số một biến thường gặp.

Xem thêm: [Thủ thuật casio] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

  • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu $f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in D$ và $\exists {x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = M$, ký hiệu: $\mathop {\max }\limits_D y = M$
  • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu $f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in D$ và $\exists {x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = m$, ký hiệu: $\mathop {\min }\limits_D y = m$

Ta có thể hiểu rằng: số lớn nhất trong tất cả các giá trị $f\left( x \right)$ với $x \in D$ gọi là GTLN và số nhỏ nhất trong tất cả các giá trị $f\left( x \right)$ với $x \in D$ gọi là GTNN.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số. Đây là phương pháp chung cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta làm theo các bước sau:

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Tìm y', cho y' = 0 giải nghiệm.
  • Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - \sqrt {x - 4} $

Giải

Tập xác đinh: $D = \left[ {4; + \infty } \right)$

$y' = 1 - \frac{1}{{2\sqrt {x - 4} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{2\sqrt {x - 4} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x - 4 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{17}}{4}$

Bảng biến thiên:

bien thien

Nhận xét: dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{{15}}{4}$ và không có giá trị lớn nhất vì hàm số tặng lên ${ + \infty }$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} y = \frac{{15}}{4}$ tại $x = \frac{{17}}{4}$

Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Xem thêmTính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a, b]. Ta làm theo các bước sau:

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Tìm y'
  • Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thuộc khoảng (a,b) mà tại đó y' = 0 hoặc y' không xác định.
  • Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)...f\left( {{x_n}} \right)$
  • Kết luận: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)...f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$ và $\mathop {{\mathop{\rm mim}\nolimits} }\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)...f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  $f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn [1,3]. (THPT Quốc gia 2015)

Giải

Tập xác định: $D = R/{\rm{\{ }}0\}$

$f'(x) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} $

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left( {1;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {1;3} \right)\end{array} \right.$

$f\left( 1 \right) = 5,f\left( 2 \right) = 4,f\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3}$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 5$ tại x = 1, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 4$ tại x = 2.

Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là một đoạn thì ta vẫn có thể sử dụng phương pháp 2.

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{2}\left( {x + \sqrt {4 - {x^2}} } \right)$

Giải

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

$y' = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \in \left( { - 2;2} \right)$

$y\left( { - 2} \right) = - 1; y\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 ; y\left( 2 \right) = 1.$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 ;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = - 1.$

Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà học sinh phải nắm vững. Đây là cơ sở nền tảng để có thể làm được các bài toán phức tạp hơn.

Xem thêmBài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Có 161 trả lời

  1. manh cau says

    Co tke cho biet cach tim y"

  2. Cho e hỏi bài này với ạ: tìm GTLN và GTNN của y=1-1/x

  3. Nguyễn Hồng Thái says

    Tìm gtln và gtnn của hs fx=2x+1/x-1 của toạ độ[1,3] làm kiểu gì ạ

    • Nếu là f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{x} - 1 thì bạn có thể dùng phương pháp 2, còn nếu f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{x - 1}} thì dùng phương pháp 1 vì hàm số không xác định tại x = 1.

  4. Nguyễn Quỳnh Nga says

    Cho e hỏi bài này thì làm thế nào ahk: căn bậc hai của 4-x^2 trên đoạn [_1;1]

  5. cho em hỏi tìm gtln và gtnn cưa x+can2 3+2x-x^2

  6. Cho em hoi vd1 bang bien thien chô y tinh the nao ra 15/4 a

    • Bạn thế giá trị x=17/4 vào hàm số là được y=15/4

      • Nguyễn Phương says

        Thầy cho e hỏi bài này đc k ạ
        Cho tam giác ABC đều cạnh a. Dựng 1hcn MNPQ có cạnh MN nằm trên BC. 2đỉnh P,Q theo thứ tự nằm trên 2 cạnh AB, AC của tam giác. Xác định vị trí M sao cho: diện tích hcn lớn nhất và tìm GTLN đó.
        E cảm ơn thầy trước

  7. Thầy ơi cho em hỏi bài này được không ạ.
    Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + 1/x trên (0;+vô cùng).

  8. Song Phương says

    Cho e hỏi là: khi nào thì mình biết dùng pp1 va khi nào thì dùng pp2 ak. E cảm ơn.

  9. phê a tỉnh says

    Thầy ơi cho em hỏi ví dụ 2 tính kiểu gì ra -4/x^2 ạ

  10. Y= căn 2-x^2 + căn 9-x
    Làm ntn ạ

  11. giàng seo sùng says

    Cho em hỏi:tìm gtln và gtnn của hàm số f(x)=x-e^x trên đoạn [-1;2] như thế nào?

  12. giàng seo sùng says

    thầy gửi nhanh cho em nhé

  13. Hồng Nguyễn says

    y = sinx / 2+cosx trên [0;pi] Làm sao thầy?

    • Biến đổi y = \sin \frac{x}{2} + \cos x = \sin \frac{x}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}. Đặt t = \sin \frac{x}{2}, với t \in \left[ { - 1;1} \right]

      • Mỹ Duyên says

        sao em không biến đổi được sinx / (2+cosx) = sin (x/2) + cosx đc

      • Minh Phương says

        Cho e hỏi theo công thức cosx=1-2sin²x nhưng sao thầy biến đổi được thành 1-2sin²x/2 vậy ạ

        • \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x còn \cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}, cung giảm đi một nữa nhé.

  14. giáp thị lan anh says

    y= x+4/x+ căn ( x^2 -4x +9 ) tên [1;4] làm ntn ạ ?

  15. nam anh says

    tìm max min của y = x.e^-x trên đoạn [0;3] kiểu gì thầy

    • Áp dụng phương pháp 2, y' có dạng là (u.v)' và bạn lưu ý là phương trình e^-x = 0 vô nghiệm

  16. Cho em hỏi y=x/x+2 trên (-2;4] thì làm như thế nào

  17. Thầy ơi!! khi nào thì ta dùng pp1,khi nào thì dùng pp2 ạ

    • Nếu đề bài cho tìm gtln, gtnn trên một đoạn [a,b] hoặc tìm trên TXĐ mà TXĐ là một đoạn thì dùng phương pháp 2 nhé.

  18. Hoang him says

    Tập xác định vd3 [-2,2] thấy sửa lại để mấy bạn không nhầm ạ.

  19. Bài này giải như thế nào vậy ạ :'<
    y = √(25-x^2) trên đoạn [-4;4]

  20. Đỗ Trung Trực says

    Ví dụ 3 D=[-1;1] tại sao v ạ
    Cho em hỏi hàm nhất biến tìm giá trị nhở nhất làm sao khi y'=0 thì hàm đồng, nghịch biến rồi thì ta lấy 2 điểm nằm ngoài khoãng để xét max min phải không ạ

    • Là [-2;2], thầy gỏ nhầm. Còn hàm nhất biến thì không có gtnn hay gtln trên tập xác định nhé. Nếu đề bài cho một đoạn thì do phương trình y'=0 vô nghiệm nên bạn chỉ cần tính y tại hai đầu của đoạn là được.

  21. Pham Bao Tram says

    y=(x^2.cosa - 2x + cosa)/(x^2 - 2x.cosa + 1)
    Với a€(0,π)
    Cm -1=< y =<1 làm s v thầy

  22. Nguyễn Phương says

    Cho em hỏi xíu ạ... Như trường hợp tìm GT trên đoạn mà trên đoạn ấy không có giá trị nào để y'=0 thì mình làm thế nào ạ?

  23. Phương Nghi says

    Tìm y' như thế nào ạ, em không hiểu khúc y' ???

  24. thầy ơi, cho em hỏi đối với cái bài đạo hàm ra có mẫu. khi nào mình quy đồng tìm nghiệm, còn khi nào kết luận đồng biến hoặc nghịch biến ạ. em cảm ơn.
    vd: x + lnx trên đoạn [1/2;2]

    • Nếu như bạn có thể nhận xét được y' luôn âm hay luôn dương với mọi x thì có thể kết luận luôn, còn không thì phải tìm nghiệm.

  25. X√4-x^2

  26. vũ thị thanh hường says

    Thầy ơi khi nào ta dùng p2 1 khi nào ta dùng phương pháp 2 ạ

  27. Đoàn Ngọc says

    Nếu y' nhỏ hơn 0 thì có gtnn, hay lớn nhất thê nào ạ

  28. đỗ tiến mạnh says

    cho e hỏi f(x)= x-căn(5-4x)

  29. N.X.Hưng says

    Khi nào tìm y'' ạ

  30. Thầy ơi giải dùm em với tìm m để hs X - mBÌNH + m ÷ X+1 ĐẠT GTNN

  31. Mai thảo trang says

    Cho e hỏi y= x + 1/x-1 dùng phương pháp nào ạ

  32. Mai thảo trang says

    Cho khoảng (1 âm vô cùng)

  33. Nguyễn Hoài Linh says

    khi nào mình sử dụng phương pháp 1 hay 2 vậy thầy, cảm ơn

  34. lethanhtai says

    x+4:x va neu tinh dao ham thi tai sao ra la 1-4*1:x2

  35. Nguyễn Thùy Hương says

    Y= (x^2 + x -1)/(x + 2)
    Thầy ơi, đáp án câu này là gì ạ?

  36. y=x^2-4xlnx giúp với

  37. tim de he co nghiem x^2-7x+6<=0
    x^2-2(m+1)x-m+3<=0
    nho hay giup a :))

  38. Cho e hỏi tìm gtln,gtnn của hàm số y=x+căn(4-x^2) lm thế nào ạ

  39. Giang Thanh Tùng says

    Thầy ơi giúp em câu này với tìm GTLN và GTNN của : y=2sin²x+2sinx-1

    • Bạn đặt t=sinx với t thuộc đoạn [-1;1] rồi dùng phương pháp tìm gtln và gtnn trên đoạn nhé

  40. thầy cho e hỏi ở vd1 tại y dưới âm vô cùng làm sao ra đc 4 v

  41. dương đạt says

    trên đoạn (1; e2) làm thế nào ạ

  42. lê thùy vân says

    cho em hỏi câu này
    ln^2 của x +3ln của x+2 trên đoạn 1,e

    • Bạn có thể đặt t = \ln x, với x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right].

  43. ánh hoa says

    cho e hỏi bài này làm thế nào ạ căn (x-2 )+ căn (4-x)

    • Bạn tìm TXĐ được đoạn [2;4] rồi dùng phương pháp tìm gtnn, gtln trên đoạn là được.

      • cường nguyễn says

        cho hỏi tìm gtln gtnn của y= cos2x - 1 [0: pi]

        • y = \cos 2x - 1 = 1 - 2{\sin ^2}x - 1 =  - 2{\sin ^2}x
          x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \sin x \le 1 \Rightarrow  - 2 \le  - 2\sin 2x \le 0
          Hoặc bạn có thể đặt t = \sin x với t \in \left[ {0;1} \right] nếu đang học lớp 12

  44. linhlan says

    cho em hỏi bài này làm thế nào ạ:
    tìm GTNN của biểu thức F= a^4/b^4 +b^4/a^4 - (a^2/b^2+b^2/a^2) +a/b +b/a
    với a, b khác 0

  45. lê thị thúy hằng says

    cho e hỏi chỗ y=0 ý ạ. lúc nào mình lấy hết cả y' lúc nào mình chỉ lấy tử số ạ

  46. Ngô Thị Vân says

    thưa thầy, mình có phải bổ sung " Hàm số liên tục trên D " hay không ạ?

  47. Thầy ơi cho em hỏi bài này lm tek nào ạ:
    Tìm m để:
    X^2-2*(m+1)x + m<0. ¥x[-1;4]

    • \left\{ \begin{array}{l}a.f( - 1) \ge 0\\a.f(4) \ge 0\\ - 1 < \frac{{ - b}}{{2a}} < 4\end{array} \right.

      • Nguyễn Dương Thành Đạt says

        giải giùm em bài này ạ :tìm GTLN GTNN của y= COSx+COS(x+π/3)

  48. Nguyễn Thị Sương says

    thầy ơi giúp em bài này với ạ
    tìm max, min : y=(căn x-căn(1-x)+1) / (2căn x +căn(1-x)+1)
    thanks.

  49. Thầy giúp em bài này với ạ y= x + cos^2 x trên đoạn [0;pi/4]

    • y' = 1 - \sin 2x
      y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in Z} \right)
      Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}
      Tới đây bạn chỉ cần tính y\left( 0 \right),y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) rồi kết luận thôi.

  50. tìm GTLN, GTNN trên khoảng làm sao ạ
    y= 1/sinx , x thuộc khoảng (0, pi)

  51. Đỗ Anh Long says

    Bài này làm sao vậy ????
    a) cos^2 - sinx+3
    b) cos2x+cosx+1
    Tìm GTLN GTNN

    • Bài a bạn chuyển {\cos ^2}x thành 1 - {\sin ^2}x rồi đặt t = \sin x t \in \left[ { - 1;1} \right], áp dụng phương pháp tìm gtln, gtnn trên đoạn.
      Bài b tương tự \cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.

  52. Hà văn linhh says

    Tìm y' như thé nào ạ

  53. Nguyễn Dương Thành Đạt says

    giải giùm em bài này ạ :tìm GTLN GTNN của y= COSx+COS(x+π/3)

    • Bạn sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích rồi dùng điều kiện  - 1 \le \cos X \le 1 để tìm nhé

  54. hoài nguyên says

    cách giải bài toán trên khoảng không liên tục thì làm như thế nào vậy thây

  55. Thầy giúp e bài này ạ.tìm gtln và gtnn của y=sin(x-π/3)+sinx

    • Bạn sử dụng công thức sin + sin rồi sử dụng điều kiện  - 1 \le \sin X \le 1

  56. nguyenthibichthien says

    cho e hỏi tìm GTLN và GTNN của y=sinx -2cosx/sinx + cosx +2

  57. Minh tuong says

    Cho e hoi bai nay giai sao a
    Y=1+|sinx|

  58. thầy ơi, em học lớp 10 vậy có cách nào giải giá trị lớn nhất,nhỏ nhất ko bằng đạo hàm được ko ạ vì e chưa học

    • Em có thể tìm gtln, gtnn bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Bạn sẽ được học trong chương 4 đại số 10

  59. mguyễn ngọc châu says

    Em thưa thầy bài này làm ntn ak.
    Y=| 1-2cosx | + | 1 - 2sinx|.người ta hỏi tìm min và max cua y

  60. Nguyễn Thu says

    thầy ơi,nếu tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a;b) thì cách giải thế nào ạ?

  61. y' tính làm s rồi tới bước cho nó =0 v hả thầy

  62. Bùi thảo an says

    Thầy ơi cho em hỏi. Một số bài em thấy: giả sử tìm txd D=[-2;2], xong thì họ thêm câu hàm số liên tục trên đoạn [-2;2] là sao vậy thầy. Nếu mình không có câu này có bị trừ điểm không thầy

    • Ghi câu này vì chỉ khi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì mới có thể dùng phương pháp xác định gtln, gtnn trên đoạn.

  63. Huong lan says

    Thay giai dum em bai nay y= 3x^2+4/x/+1 tren (-2;6)

  64. Thầy ơi nếu hàm f(t) thuộc nửa khoảng dạng (a;b] thì chỉ có một điểm đầu mút thì sao ạ

  65. Giai dao ham ra y'=1/(x^2-7) >0 voi moi x thi sao a?

  66. Thanh Vân says

    thay cho em hoi voi a
    Y=□((x-m^2+m)/(x+1)) đạt GTNN tren [0; 1] bằng -2 làm sao ạ

  67. Như Thảo says

    thầy ơi giúp e bài này với
    tìm GTNN của hàm số y= 4/x + 9/(1-x) với 0<x<41

  68. Trung trực says

    Thầy ơi cho em hỏi
    Tìm gtln gtnn của hs y=|x| làm sao ạ

  69. Nguyễn thị hồng vân says

    Thầy ơi giải hộ em bài này với ạ
    Giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= 2×|cos|-3

  70. Mai Nguyên says

    tìm y' thế nào ạ

  71. tìm y' của căn 3x-2 như thế nào ạ

  72. Kiều Oanh says

    tìm y' của căn 3x-2 như thế nào ạ

  73. hoàng Tiến says

    Giá trị lớn nhất của hàm sốy= x2-x+1/x2+x+1 giải như thế nào vậy ạ ?thanks

  74. Giải giúp em bài: tìm GTNN GTLN của hs y=-2x^2+5x+3 trên đoạn 0;2 và đoạn 5/2;4

  75. củ tỏi says

    Thầy ơi cho e hỏi ạ 🙂 khi đạo hàm thì min max của hs không thay đổi ạ >>><<<<

  76. NGUYỄN THỊ HUYỀN says

    thầy ơi tìm GTLN,GTNN của hàm f(x)=căn(1+x) + căn(5-x) thế nào ạ. e học lớp 10 chưa học đạo hàm ạ

  77. Phùng Lan Anh says

    Thầy ơi thầy có thể hướng dẫn em câu này được ko ạ
    Tìm max,min của sinx.siny biết x+y=π và x,y lớn hơn hoặc bằng 0 ?

  78. Cho em hỏi bài này của lớp mấy a

  79. cho e hỏi tìm gtln gtnn của y=√(1+x)+√(8-x)

  80. Bình Trần says

    Thầy ơi cho em hỏi :Tìm Max,Min của hs y=l x^2-2x-5 l trên đoạn [0;4]

  81. thịnh says

    giải bài này giúp e vs
    tìm gtln của y=căn x - 4 +căn x-5

  82. Cho hỏi nếu tập xác định là R thì giải như thế nào ?
    BT: $f(x)=x^{4}-4x$

  83. nguyễn linh says

    Y=1-5sin3x

  84. Đan Tâm says

    thầy ơi em chưa đc hok đạo hàm , nếu đc thầy chỉ qua cho em vs , con không thầy chỉ cho em cách tim min của A = cb2(x^2+x+1)+cb2(x^2-x+1)

  85. Đan Tâm says

    thầy ơi giúp em vs ah , em cảm ơn trước

  86. Nguyên says

    thầy ơi cho em hỏi GTLN và GTNN của hàm số y=(x²-2x+1)e^x tính thế nào ạ?

    • Bạn vẫn áp dụng phương pháp thông thường thôi. Tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiến, nếu bài toán cho đoạn thì áp dụng trên đoạn

  87. phương pháp như lz ? viết thì đơn giản hóa hộ cái ? viết thế ma hiểu à ? làm phức tạp lên kiểu mình giỏi vl, cách giải thì đ hiểu ntn luôn
    "Tìm y'" ???

  88. y' là gì vậy ?

  89. trung hieu says

    trong cái mẫu đk e ko bít diền sao hết

  90. Đỗ Sáng says

    cách tìm y phẩy kiểu j vậy ah

Ý kiến bạn đọc

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Đăng ký nhận bài giảng và tài liệu mới qua email

Cập nhật tài liệu toán hay và mới nhất.

Họ và tên:



Email*:



Bạn đã đăng ký thành công!