Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng

Xét bài toán: cho hàm số $y = f\left( {x,m} \right)$  với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng $k$.

Phương pháp chúng: ta áp dụng điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu của hàm số:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $k$ $ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \ge 0\,\forall x \in k$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $k$ $ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \le 0\,\forall x \in k$

Trong định lý trên, $f’\left( x \right)$ chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên $k$.

Vì dụ 1. Tìm m để hàm số $y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$

Ta thấy điều kiện xác định của hàm số là $x \ne – m$, vì vậy để hàm số xác định trên $\left( {1; + \infty } \right)$ thì $ – m \le 1$.

Đồng thời để hàm số đồng biến thì ta cần điều kiện $y’ > 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0$ (vì với hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$  đạo hàm không thể bằng 0).

Vậy tóm lại, để hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
– m \le 1\\
{m^2} – 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {2; + \infty } \right).$

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + mx – 2$ đồng biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$.

$y’ = {x^2} – 4x + m$

Để hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$ thì $y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)$

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên $y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)$ khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

y’=0 vô nghiệm

y’=0 nghiệm kép

y’=0 có hai nghiệm phân biệt

TH1. Phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép

$ \Leftrightarrow \Delta ‘ \le 0 \Leftrightarrow 4 – m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 4$

TH2. Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

$\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow 4 – m > 0 \Leftrightarrow m < 4$

Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 2 – \sqrt {4 – m} $ và ${x_2} = 2 + \sqrt {4 – m} $

Ta cần $2 – \sqrt {4 – m} \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {4 – m} \le 1 \Rightarrow m \ge 3$

$ \Rightarrow m \in \left[ {3;4} \right)$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \ge 3$.

Nhận xét: với ví dụ 2, cách giải như trên khá dài, ta có thể sử dụng phương pháp sau để giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng trong trường hợp có thể rút m theo $x$ trong bất phương trình $y’ \ge 0\,$ (hay $y’ \le 0$) (hay còn gọi là cô lập m).

Ta giải lại ví dụ 2:

$\begin{array}{l}
y’ = {x^2} – 4x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)\Leftrightarrow m \ge – {x^2} + 4x\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) (*)
\end{array}$

Xét hàm số $g\left( x \right) = – {x^2} + 4x$, ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta suy ra $\left( * \right) \Leftrightarrow m \ge – 3$.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số $y = – \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4$ nghịch biến trên $\left( {0;3} \right)$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}
y’ = – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + \left( {m + 3} \right)\\
y’ \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + \left( {m + 3} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow – {x^2} + 2mx – 2x + m + 3 \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow – {x^2} – 2x + 3 \le m\left( { – 2x – 1} \right)\,\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow m \le \dfrac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}}\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)(*)
\end{array} $

(vì $ – 2x – 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)$ nên khi chia hai vế cho $ – 2x – 1$ ta phải đổi chiều bất phương trình)

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}}$ ta có bảng biến thiên trên đoạn ${\left[ {0;3} \right]}$:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $\left( * \right) \Leftrightarrow m \le – 3$.

Tham khảo: 

• Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp
• Bài tập tính đơn điệu của hàm số