Phương trình mặt phẳng và một số bài tập cơ bản

Phương trình mặt phẳng là một trong các nội dung quan trọng của hình học giải tích trong không gian, bên cạnh phương trình mặt cầu và phương trình đường thẳng. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương trình mặt phẳng và một số ví dụ mình họa.

Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng được xác định khi biết được một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến (VTPT) là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì phương trình mặt phẳng (P) sẽ là:

$A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$  (với $D = – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0}$)

Phương trình $ Ax + By + Cz + D = 0$ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (P).

Vậy để viết được phương trình của một mặt phẳng, thông thường ta sẽ tìm một điểm thuộc mặt phẳng đó và vectơ pháp tuyến của nó.

Một số chú ý cần nhớ

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng đó. Do đó để tìm VTPT của một mặt phẳng ta sẽ tìm một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng. Nếu không tìm được thì ta sẽ tìm hai vectơ có giá song song với mặt phẳng hoặc nằm trong mặt phẳng rồi lấy tích có hướng của hai vectơ đó thì sẽ được VTPT (hai vectơ không được cùng phương).

2. Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là $ Ax + By + Cz + D = 0$ thì có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ (lấy ba số đứng trước x, y, z).

3. Để lấy tọa độ một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P): $ Ax + By + Cz + D = 0$ ta chỉ cần cho x và y một giá trị tùy ý và tính z (hoặc cho y, z rồi tính x, hoặc cho x, z rồi tính y).

Xem thêm: Bài tập phương trình mặt phẳng trong không gian cơ bản

Các ví dụ về phương trình mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (P): $ 2x + y -5z + 1 = 0$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (P) và một điểm tùy ý thuộc (P).

Giải

Mặt phẳng (P) có phương trình $ 2x + y -5z + 1 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1;-5} \right)$

Gọi điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in (P)$ $ \Rightarrow 2{x_0} + {y_0} – 5{z_0} + 1 = 0$.

Cho ${x_0} = 0,{y_0} = 0$ ta được $ – 5{z_0} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = \dfrac{1}{5}$.

Vậy ta được điểm $M\left( {0;0;\dfrac{1}{5}} \right) \in (P)$.

Ví dụ 2. Cho 3 điểm A(1; 1; -4), B(5; 0; -2), C(3; -1; 2). Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua điểm C và vuông góc ới AB.

Phân tích: Dựa vào đề bài ta thấy mặt phẳng (P) đã có điểm đi qua là điểm C, ta cần tìm thêm VTPT. Vì (P) vuông góc với AB nên (P) sẽ vuông góc với giá của $\overrightarrow {AB} $. Vậy $\overrightarrow {AB} $ chính là VTPT của (P).

Giải

Vì (P) vuông góc với AB nên (P) nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {4; – 1;2} \right)$ làm VTPT.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm C(3; -1; 2) và có VTPT là $\overrightarrow {AB} = \left( {4; – 1;2} \right)$ nên có phương trình là:

$\begin{array}{l}4\left( {x – 3} \right) – 1\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 2} \right) = 0\\\Leftrightarrow 4x – y + 2z – 17 = 0\end{array}$

Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm M(1; -2; 0), N(-4; 1; 3), K(5; 0; -2).

Phân tích: Để viết được phương trình của (Q) thì ta đã có điểm đi qua là một trong ba điểm M, N, K. Ta chưa có được VTPT của (Q) vì không có vectơ nào có giá vuông góc với (Q). Tuy nhiên ta có được hai vectơ $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MK} $ có giá nằm trong (Q) và không cùng phương nên chỉ cần lấy tích có hướng của hai vectơ này thì sẽ được một vectơ có giá vuông góc với (Q) và đó chính là VTPT cần tìm.

Giải 

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { – 5;3;3} \right),\overrightarrow {MK} = \left( {4;2; – 2} \right)$

Gọi $\overrightarrow n $ là VTPT của mặt phẳng (Q) thì: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {MN} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow {MK} \end{array} \right.$

Chọn $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MK} } \right] = \left( { – 12;2; – 22} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; -2; 0) và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( { – 12;2; – 22} \right)$ nên có phương trình là:

$\begin{array}{l}- 12\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) – 22\left( {z – 0} \right) = 0\\\Leftrightarrow – 6x + y – 11z + 8 = 0\end{array}$

Trên đây là lý thuyết  và một số ví dụ cơ bản về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Trong bài viết sau ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập phương trình mặt phẳng thường gặp.