Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm) là một tính chất quan trong của hàm số. Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều bài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình…Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán cơ bản cần nắm vững.

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một miền D.
f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu $\displaystyle \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$
f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu $\displaystyle \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ thì $\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$

Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f(x) cùng tăng, cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và ngược lại.

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến

Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một đường thẳng đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

Quan sát đồ thị ở hình trên, ta thấy trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( 1; +\infty \right)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nghĩa làm trên các khoảng này hàm số đồng biến. Trên khoảng (-1; 1) đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Ở đây ta có một định lý quan trong được sử dụng để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số và áp dụng vào một số dạng bài tập.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên D, khi đó:
f(x) đồng biến trên D $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in D$
f(x) nghịch biến trên D $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\le 0\,\,\forall x\in D$

Ở đây ta có điều kiện f(x) chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D. Nếu $f'\left( x \right)=0\,\,\forall x\in D$ thì f(x) = C là hằng số nên f(x) là hàm không đổi (không tăng, không giảm).

Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Nghĩa là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến. Để làm được dạng toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

– Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ)
– Tìm đạo hàm f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0.
– Lập bảng xét dấu f'(x) rồi dựa vào định lý bên trên để kết luận (ta thường gọi là lập bảng biến thiên vì có thêm chiều biến thiên của y)

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số $y={{x}^{3}}-3x$

Giải

TXĐ: D = R

$\begin{array}{l}y'=3{{x}^{2}}-3\\y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=1\end{array} \right.\end{array}$

Bảng biến thiên:

Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$

Lưu ý: Trong bảng biến thiên, nếu y’ mang dấu + nghĩa là hàm số đồng biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi lên, nếu y’ mang dấu – nghĩa là hàm số nghịch biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.

Ví dụ 2: xét tính đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{x-2}{2x+4}$

Giải

TXĐ: $D=R\backslash \left\{ -2 \right\}$

$y'=\dfrac{8}{\left( 2x+4 \right)^2}>0\,\,\forall x\in D$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( -2;+\infty \right)$

Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta có thể kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng của tập xác định vì $y'>0\,\,\forall x\in D$ (do cả tử và mẫu đều dương) mà không cần dùng tới bảng biến thiên. Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác sau này.

Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ là $\displaystyle y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ

Với dạng toán này, ta chỉ cần sử dụng định lý bên trên, đồng thời áp dụng một kiến thức mà ta đã biết về tam thức bậc hai:

Cho $\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\left( a\ne 0 \right)$ , ta có:
$\displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)\ge 0\,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\\f\left( x \right)\le 0\,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\end{array}$

Ví dụ: Tìm m để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ đồng biến trên R.

Giải

TXĐ: D = R

$y'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+\left( 12m+5 \right)$

$\Delta '=9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3\left( 12m+5 \right)=6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)$

Để hàm số đồng biến trên R thì $\displaystyle y'\ge 0\,\forall x\in R$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3>0\,\\6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -\dfrac{\sqrt{6}}{6};\dfrac{\sqrt{6}}{6} \right]$
Vậy với $\displaystyle m\in \left[ -\dfrac{\sqrt{6}}{6};\dfrac{\sqrt{6}}{6} \right]$ thì hàm số đồng biến trên R.

Lưu ý: trong dạng toán trên, nếu hệ số a của hàm số có chứa tham số m thì ta phải xét hai trường hợp a = 0 và $a\ne 0$ .

Trên đây là hai dạng toán cơ bản về tính đơn điệu của hàm số mà học sinh phải nắm vững. Ngoài ra một số dạng toán nâng cao về tính đơn điệu như: tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng, vận dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đăng thức, giải phương trình, hệ phương trình… sẽ được đề cập trong bài viết khác.

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Có 11 trả lời

Minh says
13/06/2016 at 10:23 am
ad có thể cho thêm vài vd về hàm lượng giác ko
Giang says
23/06/2016 at 8:23 am
“Ở đây ta có điều kiện f(x) chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D. Nếu f'(x)=O v x thuộc D thì f(x) = C là hằng số nên f(x) là hàm hằng”.
Vậy sao ở trên còn ghi :
“HS đb f'(x) >= O ; HS nb f'(x) <= O" ? Đã = thì là hàm hằng rồi chứ sao còn đồng biến với nb đc ạ?
- Admin says
  23/06/2016 at 8:44 pm
  Lớn hơn hoặc bằng 0 nhưng chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm thôi nhé
Mai Hoàng says
23/06/2016 at 4:57 pm
8/(2x+4) đâu có luôn >0 với mọi x thuộc D. Nếu thay các số âm vào thì vẫn ra kết quả <0
- Admin says
  23/06/2016 at 8:42 pm
  Anh gõ thiếu mũ 2 ở mẫu. Cảm ơn em nhé!
to thuong says
14/08/2016 at 7:27 pm
cho e hoi bai tìm m để hàm số y=-1/3.x^3 +(3m-1)/2.x^2 – (2m^2 – m)x -m +1 đồng biến trên âm vô cực đến 0 ạ
Phuong linh says
07/09/2016 at 10:20 pm
Ad có thể hướng dẫn dạng f(x)=sin(1-sinx) -x, x€(0;2pi)
nguyễn văn dũng says
19/03/2017 at 11:04 pm
cho em hỏi em đọc được một tài liệu ghi : 36/(16-4x+x^2 ) với x<= 2 , rõ ràng hàm dưới mẫu nghịch biến nhưng xét cả tổng thì hàm số này đồng biến là tại sao ạ ? em cám ơn ạ
tien doan says
16/07/2017 at 9:17 am
ad cho congthuc vs vidu ve DB NB tren tung khoang xac dinh va tren khoang(a,b)
Lưu Đại Long says
16/07/2017 at 12:43 pm
ad có thể cho em biết làm sao để xét tính đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất g(x,m) trên khoảng (a,b) không ạ?
Hoàivy says
13/08/2018 at 10:13 am
Ad cho e hỏi khi nào mình biết y’ >0
y’<0
y’=0
Phan Quỳnh Châu says
06/09/2019 at 2:36 pm
Cho em hỏi là : với các hàm số cùng các định trong khoảng X , hãy chứng minh : tổng của các hàm số đơn điệu tăng là một hàm số đơn điệu tăng

Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ

Like this:

Để lại nhận xétCancel reply

Bài mới

Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ

Share this:

Like this:

Để lại nhận xétCancel reply

Bài mới