var error_str_obj = { 'required' : 'is required', 'mismatch' : 'does not match', 'validation' : 'is not valid' }

Chú ý: Để có kinh phí duy trì website, chúng tôi có đặt một số quảng cáo, trong đó có một quảng cáo popup, mong các bạn thông cảm!

Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Tính đơn điệu (đồng biến - nghịch biến hay tăng - giảm) là một tính chất quan trong của hàm số. Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều bài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình...Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán cơ bản cần nắm vững.

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một miền D.

f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu \displaystyle \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}<{{x}_{2}} thì \displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)

f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu \displaystyle \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}>{{x}_{2}} thì \displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)

Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f(x) cùng tăng, cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và ngược lại.

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến

Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một đường thẳng đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

tinh don dieu cua ham soQuan sát đồ thị ở hình trên, ta thấy trên các khoảng \left( -\infty ;-1 \right),\left( 1; +\infty \right)  đồ thị đi lên từ trái sang phải nghĩa làm trên các khoảng này hàm số đồng biến. Trên khoảng (-1; 1) đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Ở đây ta có một định lý quan trong được sử dụng để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số và áp dụng vào một số dạng bài tập.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên D, khi đó:

f(x) đồng biến trên D \Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in D

f(x) nghịch biến trên D \Leftrightarrow f'\left( x \right)\le 0\,\,\forall x\in D

Ở đây ta có điều kiện f(x) chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D. Nếu f'\left( x \right)=0\,\,\forall x\in D thì f(x) = C là hằng số nên f(x) là hàm không đổi (không tăng, không giảm).

Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Nghĩa là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến. Để làm được dạng toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ)

- Tìm đạo hàm f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0.

- Lập bảng xét dấu f'(x) rồi dựa vào định lý bên trên để kết luận (ta thường gọi là lập bảng biến thiên vì có thêm chiều biến thiên của y)

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y={{x}^{3}}-3x

Giải

TXĐ: D = R

\begin{array}{l}y'=3{{x}^{2}}-3\\y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=1\end{array} \right.\end{array}

Bảng biến thiên:

bang bien thien

Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( -\infty ;1 \right)\left( 1;+\infty \right)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( -1;1 \right)

Lưu ý: Trong bảng biến thiên, nếu y' mang dấu + nghĩa là hàm số đồng biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi lên,  nếu y' mang dấu - nghĩa là hàm số nghịch biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.

Ví dụ 2: xét tính đơn điệu của hàm số y=\frac{x-2}{2x+4}

Giải

TXĐ: D=R\backslash \left\{ -2 \right\}

y'=\frac{8}{\left( 2x+4 \right)^2}>0\,\,\forall x\in D

Bảng biến thiên:

bang bien thien ham nhat bien

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \left( -\infty ;-2 \right)\left( -2;+\infty \right)

Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta có thể kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng của tập xác định vì y'>0\,\,\forall x\in D (do cả tử và mẫu đều dương) mà không cần dùng tới bảng biến thiên. Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác sau này.

Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm của hàm số y=\frac{ax+b}{cx+d} là \displaystyle y'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ

Với dạng toán này, ta chỉ cần sử dụng định lý bên trên, đồng thời áp dụng một kiến thức mà ta đã biết về tam thức bậc hai:

Cho \displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\left( a\ne 0 \right), ta có:

\displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)\ge 0\,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\\f\left( x \right)\le 0\,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\end{array}

Ví dụ: Tìm m để hàm số y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2 đồng biến trên R.

Giải

TXĐ: D = R

y'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+\left( 12m+5 \right)

\Delta '=9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3\left( 12m+5 \right)=6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)

Để hàm số đồng biến trên R thì \displaystyle y'\ge 0\,\forall x\in R
\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3>0\,\\6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6} \right]
Vậy với \displaystyle m\in \left[ -\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6} \right] thì hàm số đồng biến trên R.

Lưu ý: trong dạng toán trên, nếu hệ số a của hàm số có chứa tham số m thì ta phải xét hai trường hợp a = 0 và a\ne 0.

Trên đây là hai dạng toán cơ bản về tính đơn điệu của hàm số mà học sinh phải nắm vững. Ngoài ra một số dạng toán nâng cao về tính đơn điệu như: tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng, vận dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đăng thức, giải phương trình, hệ phương trình... sẽ được đề cập trong bài viết khác.

Có 11 trả lời

  1. ad có thể cho thêm vài vd về hàm lượng giác ko

  2. "Ở đây ta có điều kiện f(x) chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D. Nếu f'(x)=O v x thuộc D thì f(x) = C là hằng số nên f(x) là hàm hằng".
    Vậy sao ở trên còn ghi :
    "HS đb f'(x) >= O ; HS nb f'(x) <= O" ? Đã = thì là hàm hằng rồi chứ sao còn đồng biến với nb đc ạ?

    • Lớn hơn hoặc bằng 0 nhưng chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm thôi nhé

  3. Mai Hoàng says

    8/(2x+4) đâu có luôn >0 với mọi x thuộc D. Nếu thay các số âm vào thì vẫn ra kết quả <0

  4. to thuong says

    cho e hoi bai tìm m để hàm số y=-1/3.x^3 +(3m-1)/2.x^2 - (2m^2 - m)x -m +1 đồng biến trên âm vô cực đến 0 ạ

  5. Phuong linh says

    Ad có thể hướng dẫn dạng f(x)=sin(1-sinx) -x, x€(0;2pi)

  6. nguyễn văn dũng says

    cho em hỏi em đọc được một tài liệu ghi : 36/(16-4x+x^2 ) với x<= 2 , rõ ràng hàm dưới mẫu nghịch biến nhưng xét cả tổng thì hàm số này đồng biến là tại sao ạ ? em cám ơn ạ

  7. tien doan says

    ad cho congthuc vs vidu ve DB NB tren tung khoang xac dinh va tren khoang(a,b)

  8. Lưu Đại Long says

    ad có thể cho em biết làm sao để xét tính đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất g(x,m) trên khoảng (a,b) không ạ?

  9. Ad cho e hỏi khi nào mình biết y’ >0
    y’<0
    y’=0

Ý kiến bạn đọc

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Đăng ký nhận bài giảng và tài liệu mới qua email

Cập nhật tài liệu toán hay và mới nhất.

Họ và tên:



Email*:



Bạn đã đăng ký thành công!