Giới hạn là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của các hàm số khi biến số tiến gần đến một giá trị nào đó. Hàm số bậc hai, với hình dạng đồ thị là một parabol, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán thực tế sử dụng hàm số bậc hai, kèm theo lời giải chi tiết và hình minh họa.
Bài toán 1: Tính giới hạn tốc độ
Đề bài
Một chiếc xe đang giảm tốc độ theo thời gian, vận tốc của xe được mô tả bởi hàm:
$$v(t) = \dfrac{100}{t+1}$$ (km/h), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ lúc bắt đầu giảm tốc. Tính vận tốc của xe khi $t \to \infty$.
Lời giải
Khi $t \to \infty$, mẫu số $t+1$ tiến về vô cùng, do đó:
$$\lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} \dfrac{100}{t+1} = 0.$$
Đáp số: Vận tốc của xe khi $t \to \infty$ là $0$ km/h.
Bài toán 2: Lợi nhuận trung bình
Đề bài
Một công ty sản xuất $n$ sản phẩm với tổng lợi nhuận được mô tả bởi
$$P(n) = 100n – 2n^2$$ (triệu đồng). Lợi nhuận trung bình trên mỗi sản phẩm là
$$L(n) = \dfrac{P(n)}{n}.$$ Tính giới hạn lợi nhuận trung bình khi $n \to \infty$.
Lời giải
Ta có:
$$L(n) = \dfrac{P(n)}{n} = \dfrac{100n – 2n^2}{n} = 100 – 2n.$$
Khi $n \to \infty$, $-2n \to -\infty$, do đó:
$$\lim_{n \to \infty} L(n) = -\infty.$$
Đáp số: Lợi nhuận trung bình giảm không giới hạn khi số lượng sản phẩm tăng vô hạn.
Bài toán 3: Tăng trưởng dân số
Đề bài
Dân số của một thành phố sau $n$ năm được mô tả bởi
$$P_n = 50000 + \dfrac{2000}{n+1}.$$ Tính giới hạn dân số khi $n \to \infty$.
Lời giải
Khi $n \to \infty$, mẫu số $n+1 \to \infty$, do đó:
$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2000}{n+1} = 0.$$
Vậy:
$$\lim_{n \to \infty} P_n = 50000 + 0 = 50000.$$
Đáp số: Dân số giới hạn của thành phố là $50000$ người.
Bài toán 4: Chi phí trung bình
Đề bài
Chi phí sản xuất $n$ sản phẩm được mô tả bởi
$$C(n) = 500 + 20n + \dfrac{1000}{n}.$$ Tính giới hạn chi phí trung bình khi $n \to \infty$.
Lời giải
Ta có:
$$C_{\text{tb}}(n) = \dfrac{C(n)}{n} = \dfrac{500 + 20n + \dfrac{1000}{n}}{n} = \dfrac{500}{n} + 20 + \dfrac{1000}{n^2}.$$
Khi $n \to \infty$, $\dfrac{500}{n} \to 0$ và $\dfrac{1000}{n^2} \to 0$, do đó:
$$\lim_{n \to \infty} C_{\text{tb}}(n) = 20.$$
Đáp số: Chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm khi $n \to \infty$ là $20$ triệu đồng.
Bài toán 5: Sự phân rã của chất phóng xạ
Đề bài
Khối lượng của một chất phóng xạ sau $t$ năm được mô tả bởi
$$m(t) = 10e^{-0.1t}$$ (gram). Tính giới hạn khối lượng của chất phóng xạ khi $t \to \infty$.
Lời giải
Khi $t \to \infty$, $e^{-0.1t} \to 0$, do đó:
$$\lim_{t \to \infty} m(t) = 10 \cdot 0 = 0.$$
Đáp số: Khối lượng của chất phóng xạ khi $t \to \infty$ là $0$ gram.
Bài toán 6: Tối ưu hóa doanh thu
Đề bài
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá bán mỗi sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản phẩm bán ra, được mô tả bởi hàm:
$$P(x) = 100 – 2x$$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: chục sản phẩm).
- Lập biểu thức mô tả doanh thu $R(x) = x \cdot P(x)$.
- Tìm số lượng sản phẩm bán ra để doanh thu đạt giá trị lớn nhất.
- Tính doanh thu lớn nhất đó.
Lời giải
Biểu thức doanh thu:
$$R(x) = x(100 – 2x) = -2x^2 + 100x.$$
Hàm $R(x)$ là một hàm bậc hai có hệ số $a = -2 < 0$, nên đồ thị là một parabol hướng xuống và giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh.
Tọa độ đỉnh:
$$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{100}{2(-2)} = 25$$ (tức 250 sản phẩm).
Thay $x = 25$ vào hàm doanh thu:
$$R(25) = -2(25)^2 + 100(25) = 1250$$ (nghìn đồng).
Đáp số: Số lượng sản phẩm cần bán là 250 sản phẩm, doanh thu lớn nhất là 1.250.000 đồng.
Qua các bài toán trên, chúng ta thấy rằng hàm số bậc hai là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Từ việc tính toán chi phí sản xuất, tối ưu hóa doanh thu đến các bài toán khác liên quan đến hình học hay vật lý, hàm bậc hai đều mang lại những kết quả chính xác và rõ ràng. Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của hàm số bậc hai trong các lĩnh vực khác nhau và cách mà giới hạn có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán thực tiễn.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
Để lại nhận xét