Hàm số bậc hai là một trong những công cụ toán học quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, vật lý, kỹ thuật và đời sống hàng ngày. Với đặc điểm đồ thị là một parabol, hàm số bậc hai giúp chúng ta giải quyết các bài toán tối ưu hóa, chẳng hạn như tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các bài toán thực tế sử dụng hàm số bậc hai, kèm theo lời giải chi tiết và hình minh họa.
Bài toán 1: Tính toán chi phí sản xuất
Đề bài
Một công ty sản xuất hàng hóa với chi phí sản xuất mỗi sản phẩm được mô tả bởi hàm:
\( C(x) = 2x^2 – 8x + 10 \) (triệu đồng), trong đó \( x \) là số lượng sản phẩm (đơn vị: trăm sản phẩm).
- Hãy xác định số lượng sản phẩm phải sản xuất để chi phí đạt giá trị nhỏ nhất.
- Tính chi phí nhỏ nhất đó.
Lời giải
Hàm chi phí \( C(x) \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = 2 > 0 \), nên đồ thị là một parabol hướng lên và giá trị nhỏ nhất đạt được tại đỉnh.
Tọa độ đỉnh được tính bằng công thức:
\( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = 2 \) (tức 200 sản phẩm).
Thay \( x = 2 \) vào hàm chi phí:
\( C(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 10 = 2 \) (triệu đồng).
Đáp số: Số lượng sản phẩm cần sản xuất là 200 sản phẩm, chi phí nhỏ nhất là 2 triệu đồng.
Hình minh họa
Đồ thị hàm chi phí \( C(x) \):
Bài toán 2: Tối ưu hóa doanh thu
Đề bài
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá bán mỗi sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản phẩm bán ra, được mô tả bởi hàm:
\( P(x) = 100 – 2x \) (nghìn đồng), trong đó \( x \) là số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: chục sản phẩm).
Doanh thu của cửa hàng được tính bằng \( R(x) = x \cdot P(x) \).
- Lập biểu thức mô tả doanh thu \( R(x) \).
- Tìm số lượng sản phẩm bán ra để doanh thu đạt giá trị lớn nhất.
- Tính doanh thu lớn nhất đó.
Lời giải
Biểu thức doanh thu:
\( R(x) = x(100 – 2x) = -2x^2 + 100x \).
Hàm \( R(x) \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = -2 < 0 \), nên đồ thị là một parabol hướng xuống và giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh.
Tọa độ đỉnh:
\( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{100}{2(-2)} = 25 \) (tức 250 sản phẩm).
Thay \( x = 25 \) vào hàm doanh thu:
\( R(25) = -2(25)^2 + 100(25) = 1250 \) (nghìn đồng).
Đáp số: Số lượng sản phẩm cần bán là 250 sản phẩm, doanh thu lớn nhất là 1.250.000 đồng.
Hình minh họa
Đồ thị hàm doanh thu \( R(x) \):
Bài 3: Tối ưu hóa diện tích đất
Một người muốn xây một khu vườn hình chữ nhật với chu vi cố định là $40 \, \text{m}$. Diện tích của khu vườn được mô tả bởi hàm số $A(x)$ (m²), trong đó $x$ là chiều dài của một cạnh (m).
– Lập biểu thức diện tích $A(x)$.
– Tìm chiều dài $x$ để diện tích khu vườn đạt giá trị lớn nhất.
– Tính diện tích lớn nhất đó.
Bài 4: Tầm xa của đạn pháo
Một quả đạn pháo được bắn từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $v_0 = 50 \, \text{m/s}$, góc bắn so với mặt đất là $45^\circ$. Quỹ đạo của quả đạn được mô tả bởi phương trình $y = -\dfrac{1}{25}x^2 + x$ (m), trong đó $x$ là khoảng cách ngang từ vị trí bắn và $y$ là độ cao của quả đạn.
– Tìm khoảng cách ngang lớn nhất mà quả đạn đạt được trước khi rơi xuống đất.
– Tính độ cao lớn nhất mà quả đạn đạt được.
Bài 5: Tối ưu hóa lợi nhuận
Một công ty sản xuất sản phẩm với lợi nhuận được mô tả bởi hàm $L(x) = -5x^2 + 50x – 80$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: trăm sản phẩm).
– Hãy xác định số lượng sản phẩm cần bán ra để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
– Tính lợi nhuận lớn nhất đó.
Bạn hoàn toàn đúng, bài số 3 không phải là hàm số bậc 2 do có thành phần chứa $\dfrac{100}{x}$. Tôi xin sửa lại bài toán số 3 và bổ sung một bài toán khác phù hợp với yêu cầu về hàm số bậc 2.
Bài 6: Tối ưu hóa chi phí vận chuyển
Một công ty vận chuyển hàng hóa với chi phí được mô tả bởi hàm $C(x) = 3x^2 – 18x + 50$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số lượng tấn hàng hóa được vận chuyển.
– Xác định số lượng hàng hóa cần vận chuyển để chi phí đạt giá trị nhỏ nhất.
– Tính chi phí nhỏ nhất đó.
Qua các bài toán trên, chúng ta thấy rằng hàm số bậc hai là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Từ việc tính toán chi phí sản xuất, tối ưu hóa doanh thu đến các bài toán khác liên quan đến hình học hay vật lý, hàm bậc hai đều mang lại những kết quả chính xác và rõ ràng. Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của hàm số bậc hai và cách áp dụng chúng vào thực tế.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
Để lại nhận xét