Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} – 1} \right){x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} – x + 4\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} – 1} \right){x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} – x + 4\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(0\)                       B. \(3\)                             C. \(2\)                     D. \(1\)

Lời giải

TH1. \({m^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

TH1.1: \(m = 1\). Ta có: \(y =  – x + 4\) là phương trình của một đường thẳng có hệ số \(a\) âm nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó nhận \(m = 1\).

TH1.2: \(m =  – 1\). Ta có: \(y =  – 2{x^2} – x + 4\) là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó loại $m =  – 1$.

TH2. \(m \ne  \pm 1\). Khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y’ \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên \(\mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x – 1 \le 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\,\,\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 1 < 0\\{\left( {m – 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 1 < 0\\\left( {m – 1} \right)\left( {4m + 2} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < m < 1\\ – \frac{1}{2} \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  – \frac{1}{2} \le m < 1$. Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\).

Vậy có $2$ giá trị \(m\) nguyên cần tìm là \(m = 0\) hoặc \(m = 1\).