Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = – {x^3} – 6{x^2} + \left( {4m – 9} \right)x + 4$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \(y =  – {x^3} – 6{x^2} + \left( {4m – 9} \right)x + 4\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) là

A. \(\left( { – \infty ; – \frac{3}{4}} \right]\)      B. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)            C. \(\left( { – \infty ;0} \right]\)             D. \(\left[ { – \frac{3}{4}; + \infty } \right)\)

Lời giải

Ta có \(y’ =  – 3{x^2} – 12x + 4m – 9\)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) thì \(y’ \le 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  – 3{x^2} – 6x + 4m – 9 \le 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + 9 \ge 4m\,\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 1} \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9\)

Ta có \(f’\left( x \right) = 6x + 12;\,\)\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  – 2\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên

Suy ra \(f\left( x \right) \ge 4m\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)\) khi và chỉ khi \(4m \le  – 3 \Leftrightarrow m \le \frac{{ – 3}}{4}\)