Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong thực tiễn

Nguyên hàm và tích phân là những khái niệm quan trọng trong giải tích, không chỉ có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc mà còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Bài viết này sẽ giới thiệu một số ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong thực tiễn thông qua các ví dụ cụ thể.

Ví dụ áp dụng nguyên hàm, tích phân

Bài tập 1: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t^2 + 2t$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 1$ đến $t = 3$ giây.

Lời giải:

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 1$ đến $t = 3$ giây được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian:

$S = \int_{1}^{3} v(t) dt = \int_{1}^{3} (t^2 + 2t) dt = \left. \left( \dfrac{t^3}{3} + t^2 \right) \right|_{1}^{3} = \left( \dfrac{3^3}{3} + 3^2 \right) – \left( \dfrac{1^3}{3} + 1^2 \right) = \dfrac{50}{3}$ (m)

Bài tập 2: Một bể nước có dạng hình chóp cụt với đáy lớn là hình vuông cạnh 4m, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 2m và chiều cao 3m. Tính thể tích của bể nước.

Lời giải:

Gọi $h$ là chiều cao tính từ đáy lớn của bể nước đến mặt nước. Ta có thể tích của lớp nước mỏng tại độ cao $h$ là:

$dV = S(h)dh$

Trong đó $S(h)$ là diện tích mặt cắt của bể nước tại độ cao $h$. Do đáy lớn và đáy nhỏ là hình vuông nên mặt cắt này cũng là hình vuông. Gọi $x$ là cạnh của hình vuông này, theo tính chất của hình chóp cụt ta có:

$\dfrac{x – 2}{4 – 2} = \dfrac{h}{3} \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}h + 2$

Vậy $S(h) = x^2 = \left( \dfrac{2}{3}h + 2 \right)^2$

Thể tích của bể nước là:

$V = \int_{0}^{3} S(h)dh = \int_{0}^{3} \left( \dfrac{2}{3}h + 2 \right)^2 dh = \left. \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3}h + 2 \right)^3 \right|_{0}^{3} = 20 (m^3)$

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính được cho bởi:

$S = \int_{1}^{2} |x^2| dx = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_{1}^{2} = \dfrac{7}{3}$ (đvdt)

Bài tập 4: Một vật chuyển động với gia tốc $a(t) = 6t + 2$ (m/s$^2$). Tại thời điểm $t = 0$, vận tốc của vật là $v(0) = 3$ m/s. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ giây.

Lời giải:

Ta có $v(t) = \int a(t) dt = \int (6t + 2) dt = 3t^2 + 2t + C$.

Vì $v(0) = 3$ nên $C = 3$. Vậy $v(t) = 3t^2 + 2t + 3$.

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ giây là: $v(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = 19$ (m/s)

Bài tập 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng $x = 4$ quanh trục hoành.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính được cho bởi:

$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = 8 \pi$ (đvtt)

Bài tập áp dụng nguyên hàm tích phân

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^3 – 3x^2 + 2x$ và trục hoành.
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \dfrac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ quanh trục hoành.
Bài 3. Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = \sqrt{t} + 1$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 4$ giây.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \pi$.
Bài 5. Một bể nước có dạng hình trụ với bán kính đáy 2m và chiều cao 4m. Tính thể tích của bể nước.
Bài 6. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành.
Bài 7. Một vật chuyển động với gia tốc $a(t) = 2t – 1$ (m/s$^2$). Tại thời điểm $t = 1$, vận tốc của vật là $v(1) = 2$ m/s. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ giây.
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$.
Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \cos x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -\dfrac{\pi}{2}$, $x = \dfrac{\pi}{2}$ quanh trục hoành.
Bài 10. Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 20 m/s thì phanh gấp. Xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc $-5$ m/s$^2$. Tính quãng đường xe đi được cho đến khi dừng hẳn.

Nguyên hàm và tích phân là công cụ toán học mạnh mẽ với nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Việc nắm vững các khái niệm này sẽ giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau, từ vật lý, kỹ thuật đến kinh tế, tài chính.