Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm học 2017 – 2018

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm học 2017 – 2018 – Sở GD&ĐT Hải Dương gồm 5 câu với nội dung kiến thức thuộc các phần hàm số, phương trình lượng giác, hệ phương trình vô tỉ, dãy số, hình học Oxy, hình học không gian. Các câu trong đề thi:

Câu 1 ( 2,0 điểm):
1) Cho $I\left( 2;1 \right)$. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+1$ có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích $\Delta \,IAB$ bằng $8\sqrt{2}$.
2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Giải phương trình $\dfrac{8}{{{\sin }^{3}}2x}+\tan \,x={{\cot }^{3}}x$
2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x={{y}^{3}}+y+10 \\
& \sqrt{2x+y+2}-\sqrt{5-x-y}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+10y-8 \\
\end{align} \right.$
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-7,\,\,{{u}_{n+1}}=5{{u}_{n}}-12\left( n\in \mathbb{N}* \right)$. Tìm $\lim \dfrac{{{u}_{n}}}{{{5}^{n}}}$
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với $A\left( 1;3 \right),\,\,B\left( 3;-1 \right)$. Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ trực tâm H của $\Delta \,MEF$ sao cho H nằm trên đường thẳng $d:x-y+6=0$ và có hoành độ dương.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=a,\,\,\widehat{ASB}={{60}^{0}},\,\,\widehat{CSB}={{90}^{0}},\,\,\widehat{ASC}={{120}^{0}}$
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi ${{V}_{A.A’B’C’}},\,\,{{V}_{B.A’B’C’}},\,\,{{V}_{C.A’B’C’}}$ lần lượt là thể tích các khối chóp $A.A’B’C’,\,\,\,B.A’B’C’,\,\,\,C.A’B’C’$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{V}_{A.A’B’C’}}+{{V}_{B.A’B’C’}}+{{V}_{C.A’B’C’}}$ theo a
3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho $\dfrac{CN}{SC}=\dfrac{AM}{AB}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1,0 điểm):
Với các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\dfrac{1}{2a+b+\sqrt{8bc}}-\dfrac{8}{\sqrt{2{{b}^{2}}+2{{\left( a+c \right)}^{2}}+5}}$
.