Đề thi học sinh giỏi Toán khối 12 năm 2018

Gửi quý thầy cô và các bạn đề thi học sinh giỏi môn toán khối 12 năm học 2018 – 2019 tỉnh Bình Thuận. Đề thi gồm 4 câu theo thang điểm 20 bao gồm các nội dung kiến thức về hàm số, dãy số, hệ phương trình và hình học phẳng.

Nội dung đề:

Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $2x\ge y>0.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}.$
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3mx+m$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5,$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
b) Cho dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{v}_{1}}=\dfrac{1}{2018},$ ${{v}_{n+1}}=\dfrac{2{{v}_{n}}}{1+2018v_{n}^{2}},$$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ Chứng minh rằng ${{v}_{n+1}}\ge {{v}_{n}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& 2\sqrt{xy}\left( x+y-1 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& {{x}^{2}}y\sqrt{{{y}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}y-x \\
\end{align} \right..$
Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và hai đường cao $BE,\,\,CF$cắt nhau tại $H.$ Các đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right),$ $\left( {{O}_{2}} \right)$ cùng đi qua $A$ và theo thứ tự tiếp xúc với $BC$ tại $B,\,\,C.$ Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right).$
a) Chứng minh đường thẳng $AD$ đi qua trung điểm của cạnh $BC;$
b) Chứng minh ba đường thẳng $EF,$ $BC,$ $HD$ đồng quy.