Ôn thi TN THPT: Quy tắc cộng – quy tắc nhân

Lý thuyết và bài tập ôn thi TN THPT môn toán nội dung cấp số cộng và cấp số nhân, đây cũng là một nội dung của chương trình lớp 11 có mặt trong đề minh họa môn toán của Bộ.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. CẤP SỐ CỘNG:

1.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là

$\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng $\Leftrightarrow \forall n\ge 1,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d\Leftrightarrow d={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{u}_{2}}-{{u}_{1}}={{u}_{3}}-{{u}_{2}}$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

1.2. Định lí 1: Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là ${{u}_{k}}=\dfrac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}.$

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.

1.3. Định lí 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}$và công sai d thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$của nó được xác định bởi công thức sau: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$.

1.4. Định lí 3: Giả sử $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai d. Gọi ${{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}$

(${{S}_{n}}$ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).

Ta có ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}.$

2. CẤP SỐ NHÂN

2.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

$q=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}},{{u}_{n}}\ne 0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

2.2. Định lí 1. (Số hạng tổng quát) Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ được xác định bởi công thức: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$ với $n\ge 2$

2.3. Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$ với $k\ge 2$

2.4. Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$với công bội $q\ne 1$

Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}$. Khi đó ${{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$

BÀI TẬP

Câu 1. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{3}}=2$ và ${{u}_{4}}=6$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. $-4$.   B. $4$.   C. $-2$.   D. $2$.

Lời giải

Chọn B

Ta có ${{u}_{4}}={{u}_{3}}+d\Rightarrow d={{u}_{4}}-{{u}_{3}}=6-2=4$.

Câu 2. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=2$ và công sai $d=1$. Khi đó ${{u}_{3}}$ bằng

A. $3$.   B. $1$.   C. $4$.   D. $2$.

Lời giải

Chọn C

Ta có ${{u}_{3}}={{u}_{1}}+2d=2+2.1=4$.

Câu 3. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{10}}=25$ và công sai ${d\text{ }=\text{ }3.}$ Khi đó ${{u}_{1}}$ bằng

A. ${{u}_{1}}=2$.   B. ${{u}_{1}}=3$.   C. ${{u}_{1}}=-3$.   D. ${{u}_{1}}=-2$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${{u}_{10}}={{u}_{1}}+9d\Rightarrow {{u}_{1}}={{u}_{10}}-9\text{d}=25-9.3=-2$.

Câu 4. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}}=1$ và công sai ${d\text{ }=\text{ }3.}$ Hỏi số $34$ là số hạng thứ mấy?

A. $12$   B. $9$   C. $11$   D. $10$

Lời giải

Chọn A

Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\Leftrightarrow 34=1+\left( n-1 \right).3\Leftrightarrow \left( n-1 \right).3=33\Leftrightarrow n-1=11\Leftrightarrow n=12$.

Câu 5. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=-21$ và công sai ${d\text{ }=\text{ }3.}$ Tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng

A. ${{S}_{16}}=24$.   B. ${{S}_{16}}=-24$.   C. ${{S}_{16}}=26$.   D. ${{S}_{16}}=-25$.

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên ta có:

${{S}_{16}}=\dfrac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)}{2}=\dfrac{16\left[ 2.\left( -21 \right)+\left( 16-1 \right).3 \right]}{2}=24.$

Câu 6. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right):2\,,\,a\,,\,6\,,\,b.$ Khi đó tích $a.b$ bằng

A. $22$.   B. $40$.   C. $12$.   D. $32$.

Lời giải

Chọn D

Theo tính chất của cấp số cộng:

$\left\{ \begin{array}{l}
2 + 6 = 2a\\
a + b = 12
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 8
\end{array} \right. \Rightarrow a.b = 32$

Câu 7. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=-2$ và công bội $q=3$. Khi đó ${{u}_{2}}$ bằng

A. ${{u}_{2}}=1$.   B. ${{u}_{2}}=-6$.   C. ${{u}_{2}}=6$.   D. ${{u}_{2}}=-18$.

Lời giải

Chọn B

Số hạng ${{u}_{2}}$ là ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q$$=-6$.

Câu 8. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}}=-3$ và công bội $q=\dfrac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của cấp số nhân bằng

A. $\dfrac{27}{16}$.   B. $-\dfrac{16}{27}$.   C. $-\dfrac{27}{16}$.   D. $\dfrac{16}{27}$.

Lờigiải

Chọn D

Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$$\Rightarrow {{u}_{5}}=-3.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{4}}$$=-\dfrac{16}{27}$.

Câu 9. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{4}}=1$; $q=3$. Tìm ${{u}_{1}}$?

A. ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{9}$.   B. ${{u}_{1}}=9$.   C. ${{u}_{1}}=27$.   D. ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{27}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{{{u}_{4}}}{{{q}^{3}}}=\dfrac{1}{{{3}^{3}}}=\dfrac{1}{27}$.

Câu 10. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=-\dfrac{1}{2};\text{ }{{u}_{7}}=-32$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. $q=\pm 2$   B. $q=\pm \dfrac{1}{2}$   C. $q=\pm 4$   D. $q=\pm 1$

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có

${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6} \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 2\\
q = – 2
\end{array} \right.$

Câu 11. Một cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=3$, công bội $q=2$. Tổng $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng

A. ${{S}_{8}}=381.$   B. ${{S}_{8}}=189$.   C. ${{S}_{8}}=765$.   D. ${{S}_{8}}=1533$.

Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có: ${{S}_{8}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{8}} \right)}{1-q}=\dfrac{3.\left( 1-{{2}^{8}} \right)}{1-2}=765$.

Câu 12. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}}=1$ và công bội $q=2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?

A. $11$   B. $9$   C. $8$   D. $10$

Lời giải

Chọn A

Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\Leftrightarrow {{1.2}^{n-1}}=1024\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}={{2}^{10}}\Leftrightarrow n-1=10\Leftrightarrow n=11$.

Câu 13. Cho một cấp số cộng có ${{u}_{4}}=2$, ${{u}_{2}}=4$. Hỏi ${{u}_{1}}$và công sai $d$ bằng bao nhiêu?

A. ${{u}_{1}}=6$và $d=1.$   B. ${{u}_{1}}=1$và $d=1.$   C. ${{u}_{1}}=5$và $d=-1.$   D. ${{u}_{1}}=-1$và $d=-1.$

Lời giải

Chọn C

Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} = 2\\
{u_2} = 4
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d = 2\\
{u_1} + d = 4
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 5\\
d = – 1
\end{array} \right.$

Vậy ${{u}_{1}}=5$và $d=-1.$

Câu 14. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=5$ và ${{u}_{6}}=-160.$ Công sai $q$ của cấp số nhân đã cho là

A. $q=2.$   B. $q=-2.$   C. $q=3.$   D. $q=-3.$

Lời giải

Chọn B

Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$

Suy ra ${{u}_{6}}={{u}_{1}}.{{q}^{5}}\Rightarrow {{q}^{5}}=\dfrac{{{u}_{6}}}{{{u}_{1}}}=\dfrac{-160}{5}=-32$$\Rightarrow q=-2.$

Vậy $q=-2.$

Câu 15. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=3$ và công bội $q=2$. Giá trị của ${{u}_{2}}$ bằng

A. $8$.   B. $9$.   C. $6$.   D. $\dfrac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q=3.2=6$.

Câu 16. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=9$ và công sai $d=2$. Giá trị của ${{u}_{2}}$ bằng

A. $11$.   B. $\dfrac{9}{2}$.   C. $18$.   D. $7$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}+d=9+2=11$.

Câu 17. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{2}}=6$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. $3$.   B. $-\,4$.   C. $4$.   D. $\dfrac{1}{3}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q\Rightarrow q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=\dfrac{6}{2}=3$.

Câu 18. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=3$; ${{u}_{2}}=9$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng $\begin{align} & \\ & \\ & \\ \end{align}$

A. 6.   B. 3.   C. 12.   D. -6.

Lời giải

Chọn A

Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng tổng quát là: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$;

(Với ${{u}_{1}}$ là số hạng đầu và d là công sai).

Suy ra có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}+d$$\Leftrightarrow 9=3+d$$\Leftrightarrow d=6$.

Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 6.

Câu 19. Cho cấp số cộng với ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{7}}=-10$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. $2$.   B. $3$.   C. $-1$.   D. $-2$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: ${{u}_{7}}={{u}_{1}}+6d\Leftrightarrow d=\dfrac{{{u}_{7}}-{{u}_{1}}}{6}$ hay $d=\dfrac{-10-2}{6}=-2$.

Câu 20. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$ và công bội $q=2$. Giá trị của ${{u}_{10}}$ bằng

A. ${{2}^{8}}$.   B. ${{2}^{9}}$.   C. $\dfrac{1}{{{2}^{10}}}$.   D. $\dfrac{37}{2}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2} \\& q=2 \\\end{align} \right.\Rightarrow {{u}_{10}}={{u}_{1}}.{{q}^{9}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{9}}={{2}^{8}}$.

Câu 21. Xác định $x$ để 3 số $x-1;\text{ 3};\text{ }x+1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:

A. $x=2\sqrt{2}.$    B. $x=\sqrt{5}.$     C. $x=\sqrt{10}.$     D. $x=3.$

Lời giải

Chọn C

Ba số $x-1;\text{ 3};\text{ }x+1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)={{3}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=10\Leftrightarrow x=\sqrt{10}$

Câu 22. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=3;{{u}_{2}}=1$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. $\dfrac{1}{3}$.     B. x$-2$   C. $3$   D. $2$

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q\Rightarrow q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=\dfrac{1}{3}$.

Câu 23. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=2$; $d=9$. Khi đó số $2018$ là số hạng thứ mấy trong dãy?

A. $226$.   B. $225$.   C. $223$.   D. $224$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$$\Leftrightarrow 2018=2+\left( n-1 \right).9$$\Leftrightarrow n=225$.

Câu 24. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=3$; $q=2$. Khi đó số $48$ là số hạng thứ mấy trong dãy?

A. $6$.   B. $5$.   C. $3$.   D. $16$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$$\Leftrightarrow 48={{3.2}^{n-1}}\Leftrightarrow {{3.2}^{4}}={{3.2}^{n-1}}\Leftrightarrow n-1=4\Leftrightarrow n=5$.