Tóm tắt lý thuyết mệnh đề – đại số 10

1. Khái niệm Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Ví dụ: Hà Nội là thủ đô của Việt Nam $ \Rightarrow $ là mệnh đề đúng.

Ngựa có sừng $ \Rightarrow $ là mệnh đề sai.

Buồn ngủ quá $ \Rightarrow $ không phải là mệnh đề.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P.

• Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline P $.

• Nếu P đúng thì $\overline P $ sai, nếu P sai thì $\overline P $ đúng.

Ví dụ: $P:$ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” $ \Rightarrow $ là mệnh đề đúng.

$ \Rightarrow \overline P :$ “Hà Nội không phải là thủ đô của Việt Nam” $ \Rightarrow $ là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q.

• Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.

• Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng $P \Rightarrow Q$.

Khi đó: – P là giả thiết, Q là kết luận;

– P là điều kiện đủ để có Q;

– Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ: P: “$ABC$ là tam giác đều”.

Q: “Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau”.

$P \Rightarrow Q:$ “Nếu$ABC$ là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau”.

4. Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$

Ví dụ: $P \Rightarrow Q:$ “Nếu$ABC$ là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau”.

$Q \Rightarrow P:$ “Nếu$ABC$ có ba cạnh bằng nhau thì nó là tam giác đều”.

5. Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q.

• Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

• Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Chú ý: Nếu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Ví dụ: $P \Leftrightarrow Q:$ “Tam giác$ABC$ là tam giác đều nếu và chỉ nếu có ba cạnh bằng nhau”.

6. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

Ví dụ: Mệnh đề chứa biến $P:$$\forall x \in :{x^2} + x + 1 > 0$

7. Kí hiệu $\forall $ và $\exists $

• “$\forall x \in X,P\left( x \right)$” đọc là: với mọi giá trị $x$ thuộc $X$ thì $P\left( x \right).$

• “$\exists x \in X,P\left( x \right)$” đọc là: tồn tại giá trị $x$ thuộc $X$ sao cho $P\left( x \right).$

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P\left( x \right)$” là “$\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} $”.

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X,P\left( x \right)$” là “$\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} $”.

Ví dụ: Xét mệnh đề $A:$”$\forall n \in N:n\left( {n + 1} \right) \vdots 2$” $ \Rightarrow \overline A :$”$\exists n \in N:n\left( {n + 1} \right)\not \vdots 2$”

8. Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: $P \Rightarrow Q$.

Cách 1: Ta giả thiết P đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh Q đúng.

Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết Q sai, từ đó chứng minh P sai. Do P không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là Q phải đúng.

9. Bổ sung

Cho hai mệnh đề P và Q.

• Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là $P \wedge Q$ .

• Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là$P \vee Q$.

• Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $\overline {P \wedge Q} = \overline P \vee \overline Q $, $\overline {P \vee Q} = \overline P \wedge \overline Q $.

Tham khảo: Chuyên đề Mệnh đề và tập hợp đại số lớp 10 – Đặng Việt Đông