Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một bài toán quan trọng vì nó thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh lớp 11 và lớp 12 luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.

Trước tiên, chúng ta cần biết được tiếp tuyến là gì. Nói đơn giản và dễ hiểu thì như thế này:

Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là một đường cong mà ta ký hiệu là (C), đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm \displaystyle M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

tiep tuyen cua do thi ham so

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong định nghĩa này, chúng ta có khái niệm “d tiếp xúc với (C)“, vậy như thế nào là tiếp xúc? Ta có thể xem hình bên trên để phân biết giữa tiếp xúc và cắt. Ta thấy đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm M và cắt (C) tại điểm N.

Điểm \displaystyle M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) được gọi là tiếp điểm (điểm tiếp xúc) của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số y=f(x) nên \displaystyle {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right).

Ta thừa nhận rằng, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \displaystyle {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right) chính bằng đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm  \displaystyle {{x}_{0}}. Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến:

\displaystyle y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})\left( x-{{x}_{0}} \right)

Trong một bài toán viết phương trình tiếp tuyến, ta chỉ cần tìm được tọa độ tiếp điểm \displaystyle \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) và hệ số góc \displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right) là có thể viết được phương trình.

Xem thêmBài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng cao

Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm. Với dạng này ta chỉ cần tính thêm hệ số góc là có thể viết ra được phương trình.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x+1 tại điểm \displaystyle M\left( 2;5 \right).

Giải

Ta có: \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \displaystyle M\left( 2;5 \right) là: \displaystyle f'\left( 2 \right)={{3.2}^{2}}-2=10

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: \displaystyle y-5=10\left( x-2 \right)\Leftrightarrow y=10x-15

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ giao điểm. Nghĩa là ta đã biết được \displaystyle {{x}_{0}}, ta cần tìm thêm \displaystyle {{y}_{0}} và hệ số góc \displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right).

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x+1 tại điểm có hoành độ bằng 1.

Giải

Ta có: \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2

Gọi \displaystyle N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Theo đề bài ta có: \displaystyle {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=f\left( 1 \right)=0

Hệ số góc của tiếp tuyến: \displaystyle f'\left( 1 \right)={{3.1}^{2}}-2=1

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: \displaystyle y-0=1\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=x-1

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm. Nghĩa là ta đã biết được \displaystyle {{y}_{0}}. Ta sẽ tìm \displaystyle {{x}_{0}} và hệ số góc.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1 tại điểm có tung độ bằng 1.

Giải

Ta có: \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2

Gọi \displaystyle A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Theo đề bài ta có: \displaystyle {{y}_{0}}=1\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=1\Leftrightarrow x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}+1=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0

Hệ số góc của tiếp tuyến: \displaystyle f'\left( 0 \right)={{3.(0)}^{2}}+2=2

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: \displaystyle y-1=2\left( x-0 \right)\Leftrightarrow y=2x+1

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm thêm tọa độ của tiếp điểm để viết được phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.

Giải

Ta có: \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2

Gọi \displaystyle B\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: \displaystyle f'\left( {{x}_{o}} \right)=5\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}+2=5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1

Với \displaystyle {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=4 suy ra phương trình tiếp tuyến: \displaystyle y-4=5\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=5x-1

Với \displaystyle {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-2 suy ra phương trình tiếp tuyến: \displaystyle y+2=5\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=5x+3

Chú ý: Dạng 4 có thể cho ở dạng viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó ta sử dụng nhận xét sau để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:

  • Hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau.
  • Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.

Ngoài ra, ta cần phải nhớ rằng: đường thẳng có phương trình \displaystyle y=ax+b thì có hệ số góc là \displaystyle k=a.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: \displaystyle -2x+y-1=0.

Giải

Ta có: \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2

Đường thẳng d: \displaystyle -2x+y-1=0\Leftrightarrow y=2x+1

Suy ra hệ số góc của d là \displaystyle {{k}_{d}}=2.

Gọi \displaystyle C\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến là \displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right).

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có:

\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right).{{k}_{d}}=-1\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right).2=-1\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}+2=-\frac{1}{2} (phương trình vô nghiệm)

Vậy không có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản bắt buộc phải nắm được trước khi tiếp cận với những dạng khó hơn trong các đề thi tuyển sinh đại học.

Tham khảo: một số bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng cao

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Có 90 trả lời

  1. nguyễn quyết thi says

    khó hỉu quá . nhưng từ x^3 -2x +1 lại bằng 3x^2-2 ta sử dụng phương pháp nào để ra

  2. phuong vy says

    đạo hàm đó ban

  3. Hoàng Long Tú Nhi says

    cho e hỏi tích 2 hệ số góc ở đây là a* f'(x0) phải ko ạ?

  4. trần thị mỹ ngân says

    hay
    t đã ts đây ^^

  5. Minh Uyen says

    Cam on Admin rat nhieu.. rat bo ich

  6. bài viết ngắn gọ dễ hiểu, cảm ơn bạn 🙂

  7. sao dây không có tiếp tuyến song song vs đường thăng r cho trước

  8. phuong dinh nhi says

    ảnh nền cho lời giải đi

  9. Chuối chuố says

    Trường hợp tt song song với trục tung thì phải làm sao ạ ?

  10. Hải Yến says

    Trong phần vuông góc có nói r,tương tự vậy/

  11. bui tung says

    cho vi du dang song song duoc khong ad

  12. Trần văn thắng says

    Cho h/s.y=x+2/x-2 có đồ thị (c).tìm M trên(c) sao cho tiếp tuyến // với d:y=-x+1.giúp e với

  13. Nguyễn thị xuân thấm says

    Cho e hỏi tiếp tuyến của (c) tại giao diểm của (c) và Ox làm sao ạ

  14. chien dam dang says

    Thật dễ hiểu và hữu ích

  15. trịnh thêm says

    sao k có dạng tiếp tuyến đi qua 1 điểm vậy ad?

  16. nguyenanhthu says

    Vuông goc sau k=a vz p

  17. hay

  18. tại giao điểm của đồ thị với ox,oy thì sao ?

  19. Nguyên says

    Thank ad nhiều nhé

  20. Ngọc Yến Huỳnh says

    k có dạng bài tập tiếp tuyến song song vs 1 đườg thẳng nào à ad?

  21. tran quoc says

    biết tiếp tuyến của C cắt các trục ox oy tại A,B sao cho tam giác oab có trọng tâm nằm trên d = 4x+y =0
    y= x-1/2(x+1)
    có dạng này ko anh

  22. Lan Anh says

    Thế còn kiểu bài tiếp tuyến tạo với đường thẳng 1 góc 45º thì giải kiểu gì ạ?

  23. Cảm ơn p.mk đã hiểu ra đc nhiều điều

  24. Hà Phạm says

    Ngắn gọn, súc tích và đặc biệt là dễ hiểu

  25. Ngọc anh says

    Vẫn chưa hết dạng tiếp tuyến phải không ạ,, tại e thấy cô dạy còn có cả gì mà tan a nữa mà

  26. trung nt says

    hay quá, thanks nhìiu nha

  27. Nếu đề không cho là viết ptr tại điểm có tung độ bằng 2 mà là tại điểm có hoành độ x=2 thì cũng tương tự ta gọi M(x0;y0) phải ko ạ

  28. Hosting says

    Bai toan x?p ba lo co th? du?c gi?i trong th?i gian gi?-da th?c b?ng quy ho?ch d?ng . Du?i day la l?i gi?i quy ho?ch d?ng cho

  29. cai phan duong thang d day lam sao ra kd duoc thay

  30. Bùi Ngọc Điệp says

    a ơi. e sắp thi. mà pttt vuông góc e vẫn k hiểu. a giúp e 1 bài cụ thể được k ạ

    • Bạn xem lại ví dụ cuối cùng trong bài nhé. Bạn nhớ là: tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d thì hệ số góc của tiếp tuyến nhân với hệ số góc của d bằng -1.

      • Đông Đông says

        Khi tìm tọa độ điểm ta giải pt của đạo hàm với hsg của cái nào vậy thầy

  31. Nguyễn Phôn says

    thầy ơi.thầy giải giúp e 1bài: viết pttt khi đi qua M(x,y). e vẫn chua hiểu dạng này

  32. huynh thi my tien says

    thay oi vi vuong goc nen bang 1/2 ha thay

  33. Bùi Ngọc Điệp says

    ở dạng 3. làm sao để tính được Xo =0 hả ad.
    e nghĩ mãi k thông. 🙁

  34. Bùi Ngọc Điệp says

    à ra r. tính p.trình mũ 3. ra 1 nghiệm và 2 nghiệm ảo. 🙂 thank bài viết của ad

  35. gia võ says

    vay neu tiep tuyen // voi duong thang thi sao ạ

  36. Trần văn Thảo says

    Thầy ơi. Làm sao để chứng minh số tiếp tuyến của hàm bậc 3 bằng số tiếp điểm vậy thầy?

  37. Thấy ơi, có thể dạy dạng: khi gọi 2 điểm A,B là điểm cực trị của đồ thị hàm số, viết pttt AB và viêt pt trung trực của AB ko ạ

    • A, B là hai điểm cực trị thì đường AB có phải là tiếp tuyến đâu bạn?

  38. còn dạng viết pttt khi hệ số góc min hoặc mã nữa ạ

  39. Nguyen Hoa says

    Tìm m để đồ thị (C) y= x^3 – 3(m+1)x^2 + 3mx – m +1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
    Thầy ơi, bài này nhẩm nghiệm thế nào vậy ạ?

    • Hàm số bậc 3 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi \[{y_{CD}}\] và \[{y_{CT}}\] trái dấu.

  40. Rất hay, cảm ơn thầy nhiều!

  41. nguyễn tuyết says

    cho mình hỏi.trong trường hợp song song có khi nào đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm k.phương trình bậc 3

    • Tất nhiên là có chớ bạn

      • Phạm Ánh Linh says

        f(x)=x^3-3x^2+2
        Tìm trên đường thẳng y=2 các điểm kẻ được tới đồ thị 3 tiếp tuyến trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
        Làm thế nào hả thầy

  42. quan nguyen says

    sao ko co dang tiep tuyen tao voi ox mot goc 45 độ

    • Đó là bài nâng cao, rất nhiều dạng khác nhau thầy không đề cập hết được.

  43. sao ko cho đáp án ạ

  44. trần thấn says

    bài viết của thầy rất hay nhưng chỉ dành cko hs khá trở lên còn sinh tb nhìn chắc hôg hiểu được bao nhiêu
    thầy phần tiôch chuyên sâu hơn để hs tb còn hiểu

  45. hoang hoa says

    Hàm số y=x^3-3x^2+m ,tìm m để hsố tại điểm cắt truc ox,oy lần lượt làA ,B với diện tích OAB= 3,2 làm thế nào hả thầy? Em cam ơn thầy nhiều a

  46. mai văn truờng says

    ad cho em hỏi để đăng kí nhận tài liệu thì phải làm thế nào em đăng kí mà nó cứ hiện lỗi mãi thôi

  47. Nguyễn Hà says

    Thầy chỉ cho e bài này :viết pttt của hàm số:y=(2x+3)/(x+1) biết tt cắt ox tại A,cắt oy tại B,sao cho tam giác OAB vuông cân tại O
    Cảm ơn thầy nhiều……

    • Tam giác OAB vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc \[{45^0}\] hoặc \[{135^0}\]. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là 1 hoặc -1.

  48. nguyễn quỳnh says

    cho e hỏi nếu đề bài ra : biết hệ số góc nhỏ nhất thì làm sao ạ

  49. Lệ Hoàng Thu says

    Tai sao ta co k.f/(xo)=-1 vay giai thich dum minh

  50. Quỳnh says

    Cho em hỏi: Phương trình tiếp tuyến tam giác là lớp 12 mới học phải không ạ?

  51. Trần Việt says

    Em Có Câu hỏi sau mong thầy cô giải và hướng dẫn :)thanks
    Từ đ A(19/12,9) viết pttt đến (c): y=(2X^3)-(3X^2)+5

    • Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng:
      \[y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) \Leftrightarrow y – \left( {2x_0^3 – 3x_0^2 + 5} \right) = \left( {6x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\]
      Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên bạn thế tọa độ điểm A vào x và y trong phương trình, từ đó giải phương trình để tìm \[{{x_0}}\].

  52. khang le says

    Thay oi thay hsay ghi cac cong thuc tinh he so hgoc k jup em vs

  53. Thầy giúp em bài này với :
    Biết với mọi m #0 , đồ thị hàm số : y= ((m+1)x+m)/(x+m) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định . Hỏi đường thẳng đó tạo với 2 trục toạ độ 1 tam giác có diện tích = bn ?

    • \[y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + m}}{{x + m}}\]
      \[y’ = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\]
      \[x = 0 \Rightarrow y’ = 1,y = 1\]
      Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng \[y = x + 1\].
      Đường thẳng này lần lượt cắt trục Ox và Oy tại \[A\left( { – 1;0} \right)\] và \[B\left( {0;1} \right)\]. Diện tích tam giác OAB bằng \[\frac{1}{2}\].

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: