Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một bài toán quan trọng vì nó thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh lớp 11 và lớp 12 luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.
Trước tiên, chúng ta cần biết được tiếp tuyến là gì. Nói đơn giản và dễ hiểu thì như thế này:
Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là một đường cong mà ta ký hiệu là (C), đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm
gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong định nghĩa này, chúng ta có khái niệm “d tiếp xúc với (C)“, vậy như thế nào là tiếp xúc? Ta có thể xem hình bên trên để phân biết giữa tiếp xúc và cắt. Ta thấy đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm M và cắt (C) tại điểm N.
Điểm 
Ta thừa nhận rằng, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 
Trong một bài toán viết phương trình tiếp tuyến, ta chỉ cần tìm được tọa độ tiếp điểm 
Xem thêm: Bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng cao
Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm. Với dạng này ta chỉ cần tính thêm hệ số góc là có thể viết ra được phương trình.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Giải
Ta có:
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ giao điểm. Nghĩa là ta đã biết được 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Giải
Ta có:
Gọi 
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm. Nghĩa là ta đã biết được
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Giải
Ta có:
Gọi 
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm thêm tọa độ của tiếp điểm để viết được phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Giải
Ta có:
Gọi 
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là:
Với 
Với 
Chú ý: Dạng 4 có thể cho ở dạng viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó ta sử dụng nhận xét sau để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
- Hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Ngoài ra, ta cần phải nhớ rằng: đường thẳng có phương trình 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Giải
Ta có:
Đường thẳng d:
Suy ra hệ số góc của d là 
Gọi 
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có:
Vậy không có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Trên đây là các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản bắt buộc phải nắm được trước khi tiếp cận với những dạng khó hơn trong các đề thi tuyển sinh đại học.
Tham khảo: một số bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng cao
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
khó hỉu quá . nhưng từ x^3 -2x +1 lại bằng 3x^2-2 ta sử dụng phương pháp nào để ra
Đó là công thức đạo hàm. Bạn đang học lớp mấy?
đạo hàm.chbohandyua hoc hả
thầy ơi! ví dụ vuông góc ở gần cuối đúng phải tích 2 hệ số là -1 thì k=-1/2,chứ sao lại =2
k trong bài là hệ số góc của d chớ không phải của tiếp tuyến. Hệ số góc của tiếp tuyến là \[f’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{2}\]
f ‘ (x0) * kd=-1. vậy -1 lấy ở đâu vậy thầy
Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1. Luôn luôn là -1 nhé bạn.
Đạo hàm mà p
– bn học tới lớp 11 thì đạo hàm . như câu đó là bình thường mà
Tính đạo hàm ra bạn nhé vd như (u^n)’=nu^n-1
đạo hàm đó ban
cho e hỏi tích 2 hệ số góc ở đây là a* f'(x0) phải ko ạ?
Đúng rồi đó
hay
t đã ts đây ^^
Cam on Admin rat nhieu.. rat bo ich
bài viết ngắn gọ dễ hiểu, cảm ơn bạn 🙂
sao dây không có tiếp tuyến song song vs đường thăng r cho trước
Bạn đọc kỹ lại bài nhé
ảnh nền cho lời giải đi
Trường hợp tt song song với trục tung thì phải làm sao ạ ?
Trong phần vuông góc có nói r,tương tự vậy/
cho vi du dang song song duoc khong ad
Cho h/s.y=x+2/x-2 có đồ thị (c).tìm M trên(c) sao cho tiếp tuyến // với d:y=-x+1.giúp e với
Bạn xem lại phần chú ý nhé, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 1 nên hệ số góc bằng 1
minh tuong hsg = -1
À đúng rồi bằng -1, đọc không kỹ phương trình của bạn
Cho e hỏi tiếp tuyến của (c) tại giao diểm của (c) và Ox làm sao ạ
Tiếp điểm nằm trên trục Ox nên có tung độ bằng 0, đó là dạng 3 nhé
Thật dễ hiểu và hữu ích
nếu cho là giao tuyến của hai đường tròn tiếp xúc nhau thì làm thế nào ???
Bạn nói rõ câu hỏi hơn nhé
sao k có dạng tiếp tuyến đi qua 1 điểm vậy ad?
Vuông goc sau k=a vz p
hehe
hay
tại giao điểm của đồ thị với ox,oy thì sao ?
Nếu ox thì y=o… oy thì x=o bạn nhé
Thank ad nhiều nhé
k có dạng bài tập tiếp tuyến song song vs 1 đườg thẳng nào à ad?
biết tiếp tuyến của C cắt các trục ox oy tại A,B sao cho tam giác oab có trọng tâm nằm trên d = 4x+y =0
y= x-1/2(x+1)
có dạng này ko anh
Thế còn kiểu bài tiếp tuyến tạo với đường thẳng 1 góc 45º thì giải kiểu gì ạ?
Cảm ơn p.mk đã hiểu ra đc nhiều điều
Ngắn gọn, súc tích và đặc biệt là dễ hiểu
Vẫn chưa hết dạng tiếp tuyến phải không ạ,, tại e thấy cô dạy còn có cả gì mà tan a nữa mà
hay quá, thanks nhìiu nha
Nếu đề không cho là viết ptr tại điểm có tung độ bằng 2 mà là tại điểm có hoành độ x=2 thì cũng tương tự ta gọi M(x0;y0) phải ko ạ
Bai toan x?p ba lo co th? du?c gi?i trong th?i gian gi?-da th?c b?ng quy ho?ch d?ng . Du?i day la l?i gi?i quy ho?ch d?ng cho
cai phan duong thang d day lam sao ra kd duoc thay
Đường thẳng có dạng y=ax+b thì hệ số góc là k=a nhé.
a ơi. e sắp thi. mà pttt vuông góc e vẫn k hiểu. a giúp e 1 bài cụ thể được k ạ
Bạn xem lại ví dụ cuối cùng trong bài nhé. Bạn nhớ là: tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d thì hệ số góc của tiếp tuyến nhân với hệ số góc của d bằng -1.
Khi tìm tọa độ điểm ta giải pt của đạo hàm với hsg của cái nào vậy thầy
thầy ơi.thầy giải giúp e 1bài: viết pttt khi đi qua M(x,y). e vẫn chua hiểu dạng này
thay oi vi vuong goc nen bang 1/2 ha thay
ở dạng 3. làm sao để tính được Xo =0 hả ad.
e nghĩ mãi k thông. 🙁
à ra r. tính p.trình mũ 3. ra 1 nghiệm và 2 nghiệm ảo. 🙂 thank bài viết của ad
vay neu tiep tuyen // voi duong thang thi sao ạ
Bạn đọc kỹ lại bài nhé
Thầy ơi. Làm sao để chứng minh số tiếp tuyến của hàm bậc 3 bằng số tiếp điểm vậy thầy?
Bạn lấy đâu ra bài toán này vậy?
Thấy ơi, có thể dạy dạng: khi gọi 2 điểm A,B là điểm cực trị của đồ thị hàm số, viết pttt AB và viêt pt trung trực của AB ko ạ
A, B là hai điểm cực trị thì đường AB có phải là tiếp tuyến đâu bạn?
còn dạng viết pttt khi hệ số góc min hoặc mã nữa ạ
Bạn chỉ cần tìm mix hoặc max của hàm y'(x) là được
Tìm m để đồ thị (C) y= x^3 – 3(m+1)x^2 + 3mx – m +1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Thầy ơi, bài này nhẩm nghiệm thế nào vậy ạ?
Hàm số bậc 3 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi \[{y_{CD}}\] và \[{y_{CT}}\] trái dấu.
Rất hay, cảm ơn thầy nhiều!
cho mình hỏi.trong trường hợp song song có khi nào đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm k.phương trình bậc 3
Tất nhiên là có chớ bạn
f(x)=x^3-3x^2+2
Tìm trên đường thẳng y=2 các điểm kẻ được tới đồ thị 3 tiếp tuyến trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Làm thế nào hả thầy
sao ko co dang tiep tuyen tao voi ox mot goc 45 độ
Đó là bài nâng cao, rất nhiều dạng khác nhau thầy không đề cập hết được.
sao ko cho đáp án ạ
Đáp án gì nhỉ?
bài viết của thầy rất hay nhưng chỉ dành cko hs khá trở lên còn sinh tb nhìn chắc hôg hiểu được bao nhiêu
thầy phần tiôch chuyên sâu hơn để hs tb còn hiểu
Hàm số y=x^3-3x^2+m ,tìm m để hsố tại điểm cắt truc ox,oy lần lượt làA ,B với diện tích OAB= 3,2 làm thế nào hả thầy? Em cam ơn thầy nhiều a
ad cho em hỏi để đăng kí nhận tài liệu thì phải làm thế nào em đăng kí mà nó cứ hiện lỗi mãi thôi
Thầy chỉ cho e bài này :viết pttt của hàm số:y=(2x+3)/(x+1) biết tt cắt ox tại A,cắt oy tại B,sao cho tam giác OAB vuông cân tại O
Cảm ơn thầy nhiều……
Tam giác OAB vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc \[{45^0}\] hoặc \[{135^0}\]. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là 1 hoặc -1.
cho e hỏi nếu đề bài ra : biết hệ số góc nhỏ nhất thì làm sao ạ
Hệ số góc nhỏ nhất thì bạn tìm giá trị nhỏ nhất của y’ thôi.
Tai sao ta co k.f/(xo)=-1 vay giai thich dum minh
Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Cho em hỏi: Phương trình tiếp tuyến tam giác là lớp 12 mới học phải không ạ?
Lớp 11 thôi em.
Em Có Câu hỏi sau mong thầy cô giải và hướng dẫn :)thanks
Từ đ A(19/12,9) viết pttt đến (c): y=(2X^3)-(3X^2)+5
Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng:
\[y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) \Leftrightarrow y – \left( {2x_0^3 – 3x_0^2 + 5} \right) = \left( {6x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\]
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên bạn thế tọa độ điểm A vào x và y trong phương trình, từ đó giải phương trình để tìm \[{{x_0}}\].
Thay oi thay hsay ghi cac cong thuc tinh he so hgoc k jup em vs
Thầy giúp em bài này với :
Biết với mọi m #0 , đồ thị hàm số : y= ((m+1)x+m)/(x+m) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định . Hỏi đường thẳng đó tạo với 2 trục toạ độ 1 tam giác có diện tích = bn ?
\[y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + m}}{{x + m}}\]
\[y’ = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\]
\[x = 0 \Rightarrow y’ = 1,y = 1\]
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng \[y = x + 1\].
Đường thẳng này lần lượt cắt trục Ox và Oy tại \[A\left( { – 1;0} \right)\] và \[B\left( {0;1} \right)\]. Diện tích tam giác OAB bằng \[\frac{1}{2}\].