Các dạng phương trình lượng giác đơn giản

Trong bài viết trước ta đã tìm hiểu về phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng phương trình lượng giác đơn giản thường gặp bao gồm: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất theo sinX và cosX, phương trình thuần nhất bậc hai theo sinX và cosX.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $at + b = 0$

Với $a,b$ là hai số thực, $a \ne 0$. t là một trong các hàm số sinX, cosX, tanX, cotX.

Phương pháp giải

$at + b = 0 \Leftrightarrow t = – \dfrac{b}{a}$ $ \Rightarrow $ phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Ví dụ. Giải phương trình: $2\sin \left( {x – \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 3 = 0$

Giải

$2\sin \left( {x – \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x – \dfrac{\pi }{4}} \right) = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { – \dfrac{\pi }{3}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – \dfrac{\pi }{4} = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x – \dfrac{\pi }{4} = \pi + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,$

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $at^2 +bt + c = 0$

Với $a,b,c$ là các số thực, $a \ne 0$. t là một trong các hàm số sinX, cosX, tanX, cotX.

Phương pháp giải

Đặt t là hàm số lượng giác trong phương trình để đưa về phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ. Giải phương trình: $3{\cos ^2}x – \cos x – 2 = 0$

Giải

Đặt $t = \cos x$, ta được phương trình:

$3{t^2} – t – 2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Với $t = – \dfrac{2}{3} \Rightarrow \cos x = – \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos \left( { – \dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x = k2\pi $, $x = \pm \arccos \left( { – \dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi $ với $\left( {k \in Z} \right)$.

Lưu ý: Khi đặt $t = \cos X$ hoặc $t = \sin X$ ta có thể đặt điều kiện $\left| t \right| \le 1$.

Phương trình bậc nhất theo sinX và cosX

Dạng: $a\sin X + b\cos X = c$

Với $a,b,c$ là các số thực, ${a^2} + {b^2} \ne 0$.

Phương pháp giải

– Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

– Chia hai vế phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $

$\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin X + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos X = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đặt $\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha ,\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha $, phương trình trở thành:

$\cos \alpha .\sin X + \sin \alpha .\cos X = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {X + \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 $

Giải

$\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}\sin 2x + \sin \dfrac{\pi }{6}\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{6} = \pi – \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.$

Phương trình thuần nhất bậc hai theo sinX và cosX

Dạng: $a{\sin ^2}X + b\sin X\cos X + c{\cos ^2}X = 0$

Với $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng 0.

Phương pháp giải

Phương pháp 1. Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}X$ để đưa về phương trình bậc hai theo $\tan X$ (với trường hợp $\cos X \ne 0$).

Phương pháp 2. Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về phương trình $A\sin 2X + B\cos 2X = C$.

Ví dụ. giải phương trình: $\sqrt 3 {\sin ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0$

Giải

Cách 1

– Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in Z} \right)$

Thế vào phương trình ta được: $\sqrt 3 = 0$ (sai) $ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $ không phải nghiệm của phương trình.

– Với $\cos x \ne 0$:

$\sqrt 3 {\sin ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Cách 2

$\sqrt 3 {\sin ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt 3 \dfrac{{1 – \cos 2x}}{2} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin 2x – \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\cos 2x = 1 + \sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow \sin 2x + \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\cos 2x = 1$

(Bạn đọc tự giải tiếp)

Trên đây là các dạng phương trình lượng giác đơn giản thường gặp cùng với phương pháp giải mỗi dạng. Bạn cần nắm vững cách giải các dạng phương trình này để có thể vận dụng vào làm bài tập.