Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Tiếp theo nội dung của chương trình đại số lớp 10, chương đầu tiên của chương trình đại số – giải tích lớp 11 chúng ta sẽ tiếp tục học về lượng giác bao gồm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

Trong bài này chúng ta sẽ nhắc ba tính chất cơ bản nhất của các hàm số lượng giác $y = \sin x,y = \cos x,y = \tan x,y = \cot x$ mà ta phải nhớ bao gồm tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và một số dạng bài tập ở phần này.

Tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = \cos x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = \tan x$ có TXĐ là $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$

Hàm số $y = \cot x$ có TXĐ là $D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$

Tập giá trị của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ có TGT là $\left[ { – 1;1} \right]$, nghĩa là ta có $ – 1 \le \sin x \le 1\,\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cos x$ có TGT là $\left[ { – 1;1} \right]$, nghĩa là ta có $ – 1 \le \cos x \le 1\,\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \tan x$ có TGT là R.

Hàm số $y = \cot x$ có TGT là R.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2\pi $, nghĩa là ta có $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2\pi $, nghĩa là ta có $\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $\pi $, nghĩa là ta có $\tan \left( {x + k\pi } \right) = \tan x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $\pi $, nghĩa là ta có $\cot \left( {x + k\pi } \right) = \cot x\,\,\forall x \in R$.

Các dạng bài tập hàm số lượng giác

Trong bài này chúng ta có hai dạng toán thường gặp là tìm tập xác định và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. $y = \sin \sqrt {x + 1} $           b. $y = \dfrac{1}{{\cos 2x}}$         c. $y = \tan \left( {x – \dfrac{\pi }{3}} \right)$      d. $y = \dfrac{1}{{\cot x}}$

Giải

a. Hàm số xác định khi: $\sqrt {x + 1} \in R \Leftrightarrow x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 1$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = \left[ { – 1; + \infty } \right)$

b. Hàm số xác định khi: $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}|k \in Z} \right\}$

c. Hàm số xác định khi: $x – \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{5\pi }{6} + k\pi |k \in Z} \right\}$

d. Hàm số xác định khi: $\left\{ \begin{array}{l}\cot x \ne 0\\x \ne k\pi \,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k\pi |k \in Z} \right\}$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a. $y = 2\sin x – 3$      b. $y = {\cos ^2}2x – 2$        c. $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x$

Giải

a. Ta có: $\forall x \in R$ thì:

$ – 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow – 2 \le 2\sin x \le 2$

$ \Leftrightarrow – 5 \le 2\sin x – 3 \le – 1 \Leftrightarrow – 5 \le y \le – 1$

$y = – 5 \Leftrightarrow \sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$y = – 2 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy $\min y = – 5$  tại $x = – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\max y = – 1$  tại $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

b. Ta có: $\forall x \in R$ thì:

$ – 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\cos ^2}2x \le 1$

$ \Leftrightarrow – 2 \le {\cos ^2}2x – 2 \le – 1 \Leftrightarrow – 2 \le y \le – 1$

$y = – 2 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$y = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Vậy $\min y = – 2$  tại $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\max y = – 1$  tại $x = k\pi $ hoặc $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$

c. Ta có: $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)$

$ = 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}\sin x + \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)$

Đến đây bạn có thể tự giải tương tự như ví dụ a và b.

Trên đây là tóm tắt lý thuyết cơ bản nhất về hàm số lượng giác và các dạng bài tập trong phần này các bạn cần phải nắm vững. Trong bài sau ta sẽ tìm hiểu về phương trình lượng giác cơ bản.