Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Tiếp theo nội dung của chương trình đại số lớp 10, chương đầu tiên của chương trình đại số – giải tích lớp 11 chúng ta sẽ tiếp tục học về lượng giác bao gồm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

Trong bài này chúng ta sẽ nhắc ba tính chất cơ bản nhất của các hàm số lượng giác $y = \sin x,y = \cos x,y = \tan x,y = \cot x$ mà ta phải nhớ bao gồm tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và một số dạng bài tập ở phần này.

cac ham so luong giacTập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = \cos x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = \tan x$ có TXĐ là $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$

Hàm số $y = \cot x$ có TXĐ là $D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$

Tập giá trị của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ có TGT là $\left[ { – 1;1} \right]$, nghĩa là ta có $ – 1 \le \sin x \le 1\,\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cos x$ có TGT là $\left[ { – 1;1} \right]$, nghĩa là ta có $ – 1 \le \cos x \le 1\,\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \tan x$ có TGT là R.

Hàm số $y = \cot x$ có TGT là R.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2\pi $, nghĩa là ta có $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2\pi $, nghĩa là ta có $\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $\pi $, nghĩa là ta có $\tan \left( {x + k\pi } \right) = \tan x\,\,\forall x \in R$.

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $\pi $, nghĩa là ta có $\cot \left( {x + k\pi } \right) = \cot x\,\,\forall x \in R$.

Các dạng bài tập hàm số lượng giác

Trong bài này chúng ta có hai dạng toán thường gặp là tìm tập xác định và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. $y = \sin \sqrt {x + 1} $           b. $y = \frac{1}{{\cos 2x}}$         c. $y = \tan \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$      d. $y = \frac{1}{{\cot x}}$

Giải

a. Hàm số xác định khi: $\sqrt {x + 1} \in R \Leftrightarrow x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 1$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = \left[ { – 1; + \infty } \right)$

b. Hàm số xác định khi: $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in Z} \right\}$

c. Hàm số xác định khi: $x – \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\frac{5\pi }{6} + k\pi |k \in Z} \right\}$

d. Hàm số xác định khi: $\left\{ \begin{array}{l}\cot x \ne 0\\x \ne k\pi \,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k\pi |k \in Z} \right\}$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a. $y = 2\sin x – 3$      b. $y = {\cos ^2}2x – 2$        c. $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x$

Giải

a. Ta có: $\forall x \in R$ thì:

$ – 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow – 2 \le 2\sin x \le 2$

$ \Leftrightarrow – 5 \le 2\sin x – 3 \le – 1 \Leftrightarrow – 5 \le y \le – 1$

$y = – 5 \Leftrightarrow \sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$y = – 2 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy $\min y = – 5$  tại $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\max y = – 1$  tại $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

b. Ta có: $\forall x \in R$ thì:

$ – 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\cos ^2}2x \le 1$

$ \Leftrightarrow – 2 \le {\cos ^2}2x – 2 \le – 1 \Leftrightarrow – 2 \le y \le – 1$

$y = – 2 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$y = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Vậy $\min y = – 2$  tại $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\max y = – 1$  tại $x = k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$

c. Ta có: $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)$

$ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Đến đây bạn có thể tự giải tương tự như ví dụ a và b.

Trên đây là tóm tắt lý thuyết cơ bản nhất về hàm số lượng giác và các dạng bài tập trong phần này các bạn cần phải nắm vững. Trong bài sau ta sẽ tìm hiểu về phương trình lượng giác cơ bản.

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Có 43 trả lời

  1. Lâm Bửu Đoàn says

    Bài này rất hay

  2. Đoàn Lâm says

    Hay Hay

  3. Trần Thị Kiều Hạnh says

    dạ hay lắm ạ… v vậy khi có gì ko hiểu em có thể lên hỏi được ko ạ?

    • Không hiểu gì em có thể hỏi.

      • Thanh Dang says

        a ơi con b phần tìm tập xác định đáng lẽ d=r\{ pi trên 4 + k pi trên 2} chứ nhỉ, và con d cosx # 0 rồi sao lại còn x # k pi làm j nữa ạ . a giải thích hộ em với

        • Nguyễn Duy Tường says

          Câu 1b bạn nghĩ vậy đúng rồi. còn câu d là vì cot=cos/sin nên hải có thêm điều kiện là sin khác 0. sin khác 0 nên có điều kiện cotx # kn đó nha bạn

      • Hoàng Văn Hà says

        thầy giảng lại cho em câu b bài 2 được không ạk

  4. Thắng says

    Câu c bài 2 sao phân tích ra đc biểu thức dưới vậy ạ . Làm theo công thức nào vậy

  5. Giang Sơn says

    mấy bài này dễ wá

  6. Lim Ngô says

    Cho mình hỏi làm sao từ sin, cos, tan, cot mà có thể suy ra được π, kπ,…. vậy. Giải thích gìum mình với mình bị bí chỗ này ??

  7. Trần Kim Chi says

    Cho em hỏi mấy cái như tập xác định rồi tính tuần hoàn rồi hàm số chẵn lẻ làm cách nào xác định đc vậy ạ. Hay là có như thế rồi mình chỉ nhớ mặc định như vậy thôi ạ rồi dựa vào đó làm bài tập chứ không cần hiểu gì thêm ạ. Tại giáo viên dạy Toán của em cứ giảng một cách trừu tượng cực kì khó hiểu ạ :((

  8. hiển says

    GIẢI EM BÀI NÀY VỚI TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Y=sin(2x/x^2+1)+cos(4x/x^2+1)+1

  9. lê huyền trân says

    có bài nào hay hơn bài này ko ạ cô

  10. lê huyền trân says

    bạn câu b bài 2 lm sai rầu kia

  11. bui thu uyen says says

    có thể cho thêm nhiều dạng hơn được ko ạ

  12. hồ hiền says

    vd2 a <-1 chứ ko phải <-2 nha ad

  13. Nguyễn Trung Nhân says

    thầy ơi 2x khác bi trên 2 cộng ka pi
    nên x phải khác pi trên 4 + kpi chứ thầy ?

  14. Ngô Thị Mai Trân says

    Thầy cho em hỏi ” khi giãi y=√tan²x chia √cosx+1 thì điều kiện là x# π+k2π & X# π/2 +K2π. TẠI SAO KQ LÀ D=R\{π/2 +K2π. Thầy giải thích giúp ạ.

  15. Hồ Thị Vân says

    thầy cho em hỏi tập xác định của √(sin√x) là gì ạ ?

  16. lương thị lan anh says

    −1≤cos2x≤1⇔0≤cos^2 2x≤1 cho e hỏi tại sao từ -1 lại thành ko đc ạ

  17. tran van kha says

    cos^x +4cosx +7 tim gtnn lm s a

  18. Đào Văn Minh says

    SAO PHẦN B CÂU 2 BẠN BÌNH PHƯƠNG CẢ 3 VẾ MÀ -1 LẠI THÀNH 0

  19. Vũ Văn Tú says

    cần nhiều hơn là những dạng bài tập đơn giản như thế này

  20. lê hồng sơn says

    thầy giải sai ví dụ 1 câu b

  21. −1≤cos2x≤1⇔0≤cos22x≤1

    Tại sao lại như vậy vậy thầy em tưởng mũ hai lên thì phải thành −1≤cos2x≤1⇔1≤cos22x≤1 chứ

  22. Nguyễn Thục Vy says

    có câu nào “đỡ khó ” hơn mấy câu trên ko z? đăng cái này có 1 sự tốn tg ko hề nhẹ!!!

  23. lê mai hương says

    ôi hay quá . e cảm ơn ạ <3

  24. đinh tuấn anh says

    Cho e hỏi câu này với ạ,nếu tìm trạo xác định của hàm số chứa căn bậc hai mà là phân số ví dụ như sin(x-1\2-x) thì phải làm ntn ạ,cảm ơn thầy

  25. đinh tuấn anh says

    Sin√(x-1\2-x) ạ

    • Biểu thức trong dấu căn bậc hai phải không âm cho nên điều kiện là \[\frac{{x – 1}}{{2 – x}} \ge 0\].

  26. NoName says

    Có mấy bạn ngu lại còn bảo thầy làm sai, óc cứt

  27. Bì Hưng says

    xin phép cho e đk hỏi : nếu như cả biểu thức 1- cosx ở trong căn thì TXD là j ạ

    • Là R nhé. Vì \[\cos x \le 1\] với mọi \[x\] nên \[1 – \cos x \ge 0\] với mọi \[x\].

  28. Lâm chấn phong says

    Ad thêm bài tập về tuần hoàn đi ạ

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: