Cấp số cộng: lý thuyết và bài tập ví dụ

Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(d\) không đổi, nghĩa là:

\({u_{n + 1}} = {u_n} + d{\rm{\;}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right){\rm{.\;}}\)

Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

\({u_k} = \dfrac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định lí 1
Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức:   \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d,n \ge 2.\)

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Định lí 2
Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_n}\), khi đó:

\({S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right)\dfrac{n}{2}\)  hay \({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d.\)

MỘT SỐ BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG

Ví dụ 1. Chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2020n – 2021$ là cấp số cộng.

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2020\left( {n + 1} \right) – 2021 – \left( {2020n – 2021} \right) = 2020.$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d = 2020.$

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = 15\) và \(d =  – 2\). Tìm \({u_n}.\)

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}15 = {u_3} = {u_1} + 2d\\d =  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 19\\d =  – 2\end{array} \right. \to {u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d =  – 2n + 21.\)

Ví dụ 3: Một cấp số cộng có \(8\) số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai \(d\) của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\40 = {u_8} = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow d = 5\)

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có \({u_1} + 2{u_5} = 0\) và \({S_4} = 14\). Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng.

Lời giải

Ta có \({u_1} + 2{u_5} = 0 \Leftrightarrow {u_1} + 2({u_1} + 4d) = 0 \Leftrightarrow 3{u_1} + 8d = 0\).

\({S_4} = 14 \Leftrightarrow \dfrac{{4(2{u_1} + 3d)}}{2} = 14 \Leftrightarrow 2{u_1} + 3d = 7\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 8d = 0\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  – 3\end{array} \right.\).

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4\) và \(d =  – 5.\) Tính tổng \(100\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

\({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d \Rightarrow {S_{100}} = 100{u_1} + \frac{{100.99}}{2}d = – 24350\)

Ví dụ 6: Nếu các số \(5 + m;{\rm{ }}7 + 2m;{\rm{ }}17 + m\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì \(m\) bằng bao nhiêu?

Lời giải.

Ba số \(5 + m;{\rm{ }}7 + 2m;{\rm{ }}17 + m\) theo thứ tự \({u_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {u_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {u_3}\) lập thành cấp số cộng nên

\({u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow \left( {5 + m} \right) + \left( {17 + m} \right) = 2\left( {7 + 2m} \right) \Leftrightarrow m = 4\)

Ví dụ 7: Chứng minh rằng ba số dương \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số \(\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c  + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải.

Ta sẽ chứng minh bằng phép biến đổi tương đương.

Ba số \(\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c  + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }} – \dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} = \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt b – \sqrt a }}{{(\sqrt c + \sqrt a )(\sqrt b + \sqrt c )}} = \dfrac{{\sqrt c – \sqrt b }}{{(\sqrt a + \sqrt b )(\sqrt c + \sqrt a )}}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt b  – \sqrt a )(\sqrt b  + \sqrt a ) = (\sqrt c  – \sqrt b )(\sqrt c  + \sqrt b )\)

\( \Leftrightarrow \quad b – a = c – b \Leftrightarrow a,b,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 8. Cho $a,b,c$là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng

a) ${a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$             b) ${a^2} + 8bc = {\left( {2b + c} \right)^2}.$

Lời giải.

Vì $a,b,c$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên $a + c = 2b \Leftrightarrow a = 2b – c.$

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} – 2ab = {\left( {2b – c} \right)^2} – 2\left( {2b – c} \right)b\\ = 4{b^2} – 4bc + {c^2} – 4{b^2} + 2bc\\{\rm{ = }}{{\rm{c}}^2} – 2bc.\end{array}$

Vậy ${a^2} – 2ab = {c^2} – 2bc \Leftrightarrow {a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$

b) Ta có ${a^2} + 8bc = {\left( {2b – c} \right)^2} + 8bc = 4{b^2} – 4bc + {c^2} + 8bc$

${\rm{               =  4}}{b^2} + 4bc + {c^2} = {\left( {2b + c} \right)^2}.$