Cấp số nhân: lý thuyết và bài tập

1. Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(q\) không đổi, nghĩa là:

\({u_{n + 1}} = {u_n}.q{\rm{\;\;}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right){\rm{.\;}}\)

Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức:\({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}},n \ge 2\)

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n}\), khi đó

\({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\)

Chú ý: Khi \(q = 1\) thì \({S_n} = n \cdot {u_1}\).

Ví dụ 1: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9,{\rm{ }}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).

a) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} + 3\), \(n \ge 1\) là một cấp số nhân.

b) Tìm công thức tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải

a) Ta có \({v_n} = {u_n} + 3\), suy ra \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3 = \left( {4{u_n} + 9} \right) + 3\). Do đó \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{\left( {4{u_n} + 9} \right) + 3}}{{{u_n} + 3}} = \dfrac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4\).

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\) và công bội \(q = 4\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 5\\q = 4\end{array} \right.\) nên số hạng tổng quát của \({v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = {5.4^{n – 1}}\).

Suy ra công thức tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {v_n} – 3 = {5.4^{n – 1}} – 3\).

Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\) b)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right.\) c)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{S_3} = 43.\end{array} \right.\)

Lời giải

a). \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51{\rm{ }}\left( * \right)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102{\rm{ }}\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Lấy\(\dfrac{{\left( {**} \right)}}{{\left( * \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right)}}{{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right)}} = \dfrac{{102}}{{51}}\) \( \Leftrightarrow q = 2 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{51}}{{1 + {q^4}}} = \dfrac{{51}}{{17}} = 3.\)

Kết luận có công bội \(q = 2\)và số hạng đầu tiên \({u_1} = 3\).

Kết luận:\({u_1} = 3\) và\(q = 2\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 135\\{u_1}.{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 40\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 135{\rm{ }}\left( * \right)\\{u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 40{\rm{ }}\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Lấy\(\dfrac{{\left( {**} \right)}}{{\left( * \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \dfrac{{40}}{{135}}\) \( \Leftrightarrow {q^3} = \dfrac{8}{{27}} \Leftrightarrow q = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{135}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{{1215}}{{19}}.\)

Kết luận có công bội \(q = \dfrac{2}{3}\)và số hạng đầu tiên \({u_1} = \dfrac{{1215}}{{19}}\).

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{S_3} = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 6\\{u_1} + {u_2} + {u_3} = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 6\\{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 43\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 6{\rm{ }}\left( * \right)\\{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 43{\rm{ }}\left( {**} \right)\end{array} \right.\). Lấy\(\dfrac{{\left( * \right)}}{{\left( {**} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_1}q}}{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \dfrac{6}{{43}}\)

\( \Leftrightarrow 43q = 6\left( {1 + q + {q^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow 6{q^2} – 37q + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow q = 6{\rm{ }} \vee {\rm{ }}q = \dfrac{1}{6}\)

Với\(q = 6 \Rightarrow {u_1} = 1\). Với\(q = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {u_1} = 36.\)

Kết luận \(\left\{ \begin{array}{l}q = 6\\{u_1} = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}q = \dfrac{1}{6}\\{u_1} = 36\end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Cho CSN \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN.

b) Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

c) Số 12288 là số hạng thứ mấy?

Lời giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{ }}(*)\\{u_1}q(1 + {q^4}) = 102{\rm{ }}(**)\end{array} \right.\)

Lấy \(\dfrac{{(**)}}{{(*)}} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_1}q(1 + {q^4})}}{{{u_1}(1 + {q^4})}} = \dfrac{{102}}{{51}} \Leftrightarrow q = 2 \Rightarrow {u_1} = 3\).

b) Có \({S_n} = 3069 \Leftrightarrow {u_1}.\dfrac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = 3069 \Leftrightarrow 3.\dfrac{{1 – {2^n}}}{{1 – 2}} = 3069 \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\). Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c) Có \({u_k} = 12288 \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k – 1}} = 12288 \Leftrightarrow {3.2^{k – 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{k – 1}} = 4096 = {2^{12}}\)

\( \Rightarrow k – 1 = 12 \Leftrightarrow k = 13\). Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.

Ví dụ 4: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và $1,{a^2},{b^2}$ là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Lời giải

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1 + b = 2a\\{b^2} = {a^4}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + b = 2a\left( 1 \right)\\b = \pm {a^2}\end{array} \right.$

Với $b = {a^2}$ thay vào (1) được $1 + {a^2} = 2a \Leftrightarrow {a^2} – 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 1$

Với $b = – {a^2}$ thay vào (1) được $1 – {a^2} = 2a \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 1 = 0 \Leftrightarrow a = – 1 + \sqrt 2 \vee a = – 1 – \sqrt 2 $

Kết luận $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = – 1 + \sqrt 2 \\b = – 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = – 1 – \sqrt 2 \\b = – 3 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.$ thỏa yêu cầu đề bài.

Ví dụ 5: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.

Lời giải

Gọi \({u_1},{u_2},{u_3}\) thành lập cấp số cộng.

Theo đề bài:\({u_1} + 2;{u_2} + 3;{u_3} + 9\) là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Theo đề bài:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 21\\{u_1} + {u_3} = 2{u_2}\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_3} + 9} \right) = {\left( {{u_2} + 3} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_2} = 21\\{u_1} + {u_3} = 2{u_2}\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_3} + 9} \right) = {\left( {{u_2} + 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\{u_1} = 14 – {u_3}\\\left( {14 – {u_3} + 2} \right)\left( {{u_3} + 9} \right) = 100{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\)

Giải\(\left( * \right)\):\(\left( {16 – {u_3}} \right)\left( {{u_3} + 9} \right) = 100\) \( \Leftrightarrow – {u_3}^2 + 7{u_3} + 44 = 0\) \( \Leftrightarrow {u_3} = 11{\rm{ }} \vee {\rm{ }}{u_3} = – 4\)

Với \({u_3} = 11 \Rightarrow {u_1} = 3\). Với \({u_3} = – 4 \Rightarrow {u_1} = 18.\)

Ví dụ 6: a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Lời giải

a) Gọi số đo 4 góc lần lượt là: \({u_1};{u_1}.q;{u_1}.{q^2};{u_1}.{q^3}\)
Ta có: \({u_1}.{q^3} = 8{u_1} \Leftrightarrow q = 2\)
\({u_1} + 2{u_1} + 4{u_1} + 8{u_1} = 360. \Leftrightarrow {u_1} = 24\)
Vậy số đo các góc là: \({24^ \circ };{48^ \circ };{96^ \circ };{192^ \circ }\).
b) Ta có: \({u_1} = – 2;{u_8} = 256 = {u_1} \cdot {q^7}\)
Suy ra: \(q = – 2\).
Vậy \({u_{15}} = \left( { – 2} \right) \cdot {( – 2)^{14}} = – 32768\).