Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tục

Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:

Chứng minh phương trình $$f(x) = 0$$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Các bước giải bài toán:

Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng $\left({a;b} \right)$.

Bước 2. Tính $f(a),f\left( b \right)$.

Bước 3. Chứng minh $f(a).f\left( b \right) \le 0$.

Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nên đồ thì của hàm số này từ $f\left( a \right)$ đến $f\left( b \right)$ là một đường liền nét.

Mà $f(a).f\left( b \right) \le 0$ nghĩa là $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$ trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số này từ $f\left( a \right)$ đến $f\left( b \right)$ sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình ${x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Hướng dẫn:

Đặt $f\left( x \right) = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6$ thì $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

$f\left( 1 \right) = – 3,f\left( 2 \right) = 8$

Suy ra $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 24 $ < 0

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $$m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x – 2} \right) + 2x – 3 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

Đặt $$f\left( x \right) = m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x – 2} \right) + 2x – 3$$ thì $$f\left( x \right)$$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.

$$f\left( 1 \right) = – 1,f\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 1$$ < 0

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $${m^2}{x^4} + 2m{x^3} + 3x – 1 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn: