Công thức lượng giác: công thức cộng

Công thức cộng

\(\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\)

\(\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b\)

\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

\(\tan \left( {a – b} \right) = \dfrac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)

\(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a\tan b}}\)

Một số bài tập áp dụng công thức cộng

Ví dụ 1:  Biết \(\sin x = \dfrac{1}{2},0 < x < \dfrac{\pi }{2}\). Hãy tính giá trị lượng giác \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải

Vì \(0 < x < \dfrac{\pi }{2}\) nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ I \( \Rightarrow \cos x > 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos x.\cos \dfrac{\pi }{4} – \sin x.\sin \dfrac{\pi }{4}\)\( = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\)\( = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\).

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức \(A = \sin \left( {x + 14^\circ } \right)\sin \left( {x + 74^\circ } \right) + \sin \left( {x – 76^\circ } \right)\sin \left( {x – 16^\circ } \right)\)

Lời giải

Ta có \(A = \sin \left( {14^\circ  + x} \right)\cos \left( {16^\circ  – x} \right) + \sin \left( {76^\circ  – x} \right)\sin \left( {16^\circ  – x} \right)\)

\( = \sin \left( {14^\circ  + x} \right)\cos \left( {16^\circ  – x} \right) + \cos \left( {14^\circ  + x} \right)\sin \left( {16^\circ  – x} \right)\)

\( = \sin \left( {14^\circ  + 16^\circ  + x – x} \right) = \sin 30^\circ  = \dfrac{1}{2}\).

Ví dụ 3: Không dùng mấy tính, tính các giá trị lượng giác sau: \(\cos {795^0}\)\(,\tan \dfrac{{7\pi }}{{12}}\) .

Lời giải

* Tính \(\cos {795^0}\)

\(\begin{array}{l}\cos {795^0} = \cos \left( {{{75}^0} + {{2.360}^0}} \right)\\ = \cos {75^0} = \cos \left( {{{30}^0} + {{45}^0}} \right)\\ = \cos {30^0}\cos {45^0} – \sin {30^0}\sin {45^0}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} – \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

* Tính \(\tan \dfrac{{7\pi }}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}\tan \dfrac{{7\pi }}{{12}} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{3} + \tan \dfrac{\pi }{4}}}{{1 – \tan \dfrac{\pi }{3}\tan \dfrac{\pi }{4}}} = \dfrac{{\sqrt 3  + 1}}{{1 – \sqrt 3 }} =  – 2 – \sqrt 3 \end{array}\)