Định nghĩa giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Ta biết rằng, với mọi góc lượng giác có số đo $\alpha $ tùy ý, ta đều tìm được duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right) = \alpha $. Ta gọi $M$ là điểm biểu diễn của góc $\alpha $ trên đường tròn lượng giác.

Giả sử góc lượng giác $\alpha $ có điểm biểu diễn là $M\left( {{x_M};{y_M}} \right),$, khi đó các giá trị lương giác của góc $\alpha $ gồm $\sin \alpha ,$ $\cos \alpha ,$ $\tan \alpha ,$ và $\cot \alpha $ được định nghĩa:

$\cos \alpha = {x_M}.$

$\sin \alpha = {y_M}.$

$\tan \alpha = \dfrac{{{y_M}}}{{{x_M}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ với ${x_M} \ne 0$ hay $\cos \alpha \ne 0$.

$\cot \alpha = \dfrac{{{x_M}}}{{{y_M}}} = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ với ${y_M} \ne 0$ hay $\sin \alpha \ne 0$.

Từ định nghĩa trên, ta rút ra một số nhận xét và lưu ý sao:

1) Ta gọi trục hoành là trục côsin, trục tung là trục sin.

2) $\cos \alpha $ và $\sin \alpha $ xác định với mọi $\alpha \in $;

    $\tan \alpha $ xác định khi $\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in } \right).$

    $\cot \alpha $ xác định khi $\alpha \ne k\pi \,\left( {k \in } \right).$

3) Với mọi góc lượng giác $\alpha $ và số nguyên $k$, ta có:

$\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha $

$\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha $

$\tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha $

$\cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha $

4) Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác sau:

a) $\sin \dfrac{{19\pi }}{3}$ $ = \sin \dfrac{{\pi + 18\pi }}{3} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + 6\pi } \right)$

$ = \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + 3.2\pi } \right) = \sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

b) $\tan {945^0} = \tan \left( {{{45}^0} + {{900}^0}} \right)$

$ = \tan \left( {{{45}^0} + {{5.180}^0}} \right) = \tan {45^0} = 1$