Giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, cho phép ta xem xét hành vi của một dãy số khi chỉ số của nó tiến đến vô cùng. Nói cách khác, ta quan tâm đến việc xem xét giá trị mà dãy số “tiến đến” khi chỉ số ngày càng lớn.
Các kiến thức cơ bản về giới hạn của dãy số:
Kí hiệu: $ \lim_{n \to \infty} u_n = L $ hoặc $ u_n \to L $ khi $ n \to \infty $.
Một số dãy số có giới hạn đặc biệt:
$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $
$ \lim_{n \to \infty} q^n = 0 $ với $ |q| < 1 $
$ \lim_{n \to \infty} C = C $ (C là hằng số)
Dãy số $ (u_n) $ được gọi là có giới hạn là $ +\infty $ nếu với mọi số thực M, tồn tại số nguyên dương $ n_0 $ sao cho với mọi $ n > n_0 $ thì $ u_n > M $.
Kí hiệu: $ \lim_{n \to \infty} u_n = +\infty $ hoặc $ u_n \to +\infty $ khi $ n \to \infty $.
Tương tự, ta có định nghĩa dãy số có giới hạn là $ -\infty $.
Một số dãy số có giới hạn đặc biệt:
$ \lim_{n \to \infty} n^k = +\infty $ với k là số nguyên dương.
Định lý về giới hạn:
Nếu $ \lim_{n \to \infty} u_n = L $ và $ \lim_{n \to \infty} v_n = M $ thì:
$ \lim_{n \to \infty} (u_n + v_n) = L + M $
$ \lim_{n \to \infty} (u_n – v_n) = L – M $
$ \lim_{n \to \infty} (u_n \cdot v_n) = L \cdot M $
$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{L}{M} $ (với $ M \neq 0 $)
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $ S = \dfrac{u_1}{1 – q} $
Bài tập áp dụng giới hạn của dãy số:
Bài 1. Tính giới hạn của dãy số sau: $ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{n – 2} $
Lời giải:
$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{n – 2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(2 + \dfrac{1}{n})}{n(1 – \dfrac{2}{n})} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{1 – \dfrac{2}{n}} = \dfrac{2 + 0}{1 – 0} = 2 $
Bài 2. Tính giới hạn của dãy số sau: $ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^n – 2^n}{3^n + 2^n} $
Lời giải:
$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^n – 2^n}{3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^n(1 – (\dfrac{2}{3})^n)}{3^n(1 + (\dfrac{2}{3})^n)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 – (\dfrac{2}{3})^n}{1 + (\dfrac{2}{3})^n} = \dfrac{1 – 0}{1 + 0} = 1 $
Bài 3. Tính giới hạn của dãy số sau: $ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n – 1}{n^3 + 1} $
Lời giải:
$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n – 1}{n^3 + 1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^3(\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^2} – \dfrac{1}{n^3})}{n^3(1 + \dfrac{1}{n^3})} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^2} – \dfrac{1}{n^3}}{1 + \dfrac{1}{n^3}} = \dfrac{0 + 0 – 0}{1 + 0} = 0 $
Bài 4. Tính giới hạn của dãy số sau: $ \lim_{n \to \infty} (n^2 – n + 1) $
Lời giải:
$ \lim_{n \to \infty} (n^2 – n + 1) = \lim_{n \to \infty} n^2(1 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}) = +\infty $ (vì $ \lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty $ và $ \lim_{n \to \infty} (1 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}) = 1 $)
Bài 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $ 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + … $
Lời giải:
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $ u_1 = 1 $ và công bội $ q = \dfrac{1}{2} $.
Áp dụng công thức tính tổng, ta có: $ S = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{2}} = 2 $
Bài viết đã tóm tắt một số nội dung cơ bản của bài “Giới hạn của dãy số” trong chương trình Toán 11. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn học sinh nắm vững được kiến thức và vận dụng vào giải các bài tập liên quan.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!