Trong bài học trước, ta đã tìm hiểu về giới hạn của dãy số. Giới hạn của hàm số cũng là một khái niệm quan trọng trong giải tích, cho phép ta xem xét hành vi của hàm số khi biến số tiến đến một giá trị nào đó, có thể là một số hữu hạn hoặc vô cùng.
Các kiến thức cơ bản của giới hạn hàm số:
Kí hiệu: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $
Chú ý:
$ x \to x_0 $ có nghĩa là x tiến đến $ x_0 $ nhưng $ x \neq x_0 $.
Giới hạn của hàm số tại một điểm không phụ thuộc vào giá trị của hàm số tại điểm đó.
Điều kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn tại $ x_0 $:
$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L $
3. Giới hạn của hàm số tại vô cực: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L $ nếu với mọi số $ \epsilon > 0 $, tồn tại số thực M sao cho với mọi $ x > M $ thì $ |f(x) – L| < \epsilon $. $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $ nếu với mọi số $ \epsilon > 0 $, tồn tại số thực M sao cho với mọi $ x < M $ thì $ |f(x) – L| < \epsilon $.
Các trường hợp $ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty $, $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty $, $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $,… được định nghĩa tương tự.
Các định lý về giới hạn tương tự như định lý về giới hạn của dãy số.
Bài tập áp dụng giới hạn hàm số:
1. Tính giới hạn sau: $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} $
Lời giải:
$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2 + 2 = 4 $
2. Tính giới hạn sau: $ \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x – 1} $
Lời giải:
Khi $ x \to 1^+ $ thì $ x – 1 \to 0^+ $ và $ x + 1 \to 2 $, do đó $ \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x – 1} = +\infty $
3. Tính giới hạn sau: $ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 – x + 1}{x^2 + 3} $
Lời giải:
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 – x + 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{3}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{2 – 0 + 0}{1 + 0} = 2 $
4. Tính giới hạn sau: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} $
Lời giải:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1} – 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{2} $
5. Cho hàm số $ f(x) = \begin{cases} x^2 – 1 & \text{khi } x \geq 1 \\ 2x – 2 & \text{khi } x < 1 \end{cases} $. Tính $ \lim_{x \to 1} f(x) $.
Lời giải:
Ta có:
$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x – 2) = 2.1 – 2 = 0 $
$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 – 1) = 1^2 – 1 = 0 $
Vì $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 $ nên $ \lim_{x \to 1} f(x) = 0 $
Kết bài:
Bài viết đã tóm tắt một số nội dung cơ bản của bài “Giới hạn của hàm số” trong chương trình Toán 11.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!