Chào các bạn học sinh! Chào mừng các bạn đến với chương học cực kỳ thú vị và quan trọng của môn Toán: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Bài học đầu tiên này sẽ giúp chúng ta làm quen với khái niệm góc lượng giác, cách đọc đường tròn lượng giác và những công thức “nằm lòng”. Hãy cùng khám phá và kiểm tra ngay kiến thức bằng bài trắc nghiệm ở cuối trang nhé!
1. Góc Lượng Giác & Hệ Thức Chasles
Trong hình học phẳng, góc chỉ giới hạn từ $0^\circ$ đến $180^\circ$. Nhưng thực tế, kim đồng hồ hay bánh xe có thể quay vô số vòng. Đó là lúc ta cần đến góc lượng giác.
- Góc lượng giác được tạo ra khi một tia $Om$ quay quanh gốc $O$, từ tia đầu $Ou$ đến tia cuối $Ov$.
- Quy ước chiều quay: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương (+), chiều cùng kim đồng hồ là chiều âm (-).
- Có vô số góc lượng giác có cùng tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$, số đo của chúng sai khác nhau một bội số nguyên của $360^\circ$ (hoặc $2\pi$).
Hệ thức Chasles: Với ba tia $Ou, Ov, Ow$ bất kì, ta luôn có quy tắc nối đuôi tương tự như khi cộng vectơ:
Sđ $(Ou, Ov)$ + Sđ $(Ov, Ow)$ = Sđ $(Ou, Ow)$ + $k360^\circ$ ($k \in \mathbb{Z}$)
📚 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $240^\circ$ và góc lượng giác $(Ox, Ov)$ có số đo $-270^\circ$. Tính số đo của góc lượng giác $(Ou, Ov)$.
Lời giải chi tiết: Áp dụng hệ thức Chasles biến đổi:
+ Sđ $(Ou, Ov)$ = Sđ $(Ox, Ov)$ – Sđ $(Ox, Ou)$ + $k360^\circ$
+ Sđ $(Ou, Ov)$ = $-270^\circ – 240^\circ + k360^\circ = -510^\circ + k360^\circ$
+ Sđ $(Ou, Ov)$ = $-150^\circ – 360^\circ + k360^\circ = -150^\circ + m360^\circ$ (với $m = k – 1, m \in \mathbb{Z}$).
2. Đơn Vị Đo Góc: Độ và Radian
Bên cạnh “độ” quen thuộc, khoa học kỹ thuật thường dùng radian (rad). Cung tròn có số đo $1$ rad khi độ dài cung đúng bằng bán kính $R$.
- Đường tròn trọn vẹn $360^\circ$ tương ứng với $2\pi$ rad.
- Công thức chuyển đổi: $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ rad và $1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$.
- Độ dài cung tròn: Một cung có số đo $\alpha$ (rad) trên đường tròn bán kính $R$ sẽ có độ dài $l = R\alpha$.
📚 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 (Chuyển đổi đơn vị):
👉 Đổi $150^\circ$ sang radian: $150^\circ = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ rad.
👉 Đổi $\dfrac{3\pi}{4}$ rad sang độ: $\dfrac{3\pi}{4} \times \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ = 135^\circ$.
Ví dụ 2 (Tính độ dài cung): Một đường tròn có bán kính $R = 20$ cm. Tính độ dài cung tròn có số đo $35^\circ$.
Lời giải chi tiết:
+ Bước 1: Đổi $35^\circ$ sang radian: $\alpha = 35 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36}$ rad.
+ Bước 2: Tính độ dài cung: $l = R\alpha = 20 \times \dfrac{7\pi}{36} = \dfrac{35\pi}{9} \approx 12,22$ cm.
3. Đường Tròn Lượng Giác & Giá Trị Lượng Giác
Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ $O$, bán kính $R=1$, lấy điểm $A(1; 0)$ làm gốc. Điểm $M(x; y)$ trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác $\alpha$:
- Hoành độ $x$ của điểm $M$ gọi là $\cos \alpha$ (Trục hoành $Ox$ là trục côsin).
- Tung độ $y$ của điểm $M$ gọi là $\sin \alpha$ (Trục tung $Oy$ là trục sin).
- $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{y}{x}$ (với $x \neq 0$).
- $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{x}{y}$ (với $y \neq 0$).
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
| Góc $\alpha$ | $0$ ($0^\circ$) | $\dfrac{\pi}{6}$ ($30^\circ$) | $\dfrac{\pi}{4}$ ($45^\circ$) | $\dfrac{\pi}{3}$ ($60^\circ$) | $\dfrac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\alpha$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | || |
| $\cot\alpha$ | || | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ |
(Ký hiệu || nghĩa là không xác định)
📚 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha = -\dfrac{\pi}{3}$.
Lời giải chi tiết: Áp dụng tính chất cung đối nhau (Cos đối):
+ $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$
+ $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
+ $\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sin}{\cos} = -\sqrt{3}$
+ $\cot\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\cos}{\sin} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Ví dụ 2: Xét góc lượng giác $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$ (Góc phần tư thứ II). Tính các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết: Tại góc phần tư thứ II, hoành độ âm ($\cos < 0$), tung độ dương ($\sin > 0$). Áp dụng tính chất bù nhau với góc $\dfrac{\pi}{6}$:
+ $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi – \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$
+ $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
+ $\tan\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
4. Các Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
Từ định nghĩa trên, ta rút ra 4 hệ thức “vàng” dùng để giải mọi bài tập biến đổi. Bắt buộc phải học thuộc nhé!
- $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
- $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ (với $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$)
- $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ (với $\alpha \neq k\pi$)
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (với $\alpha \neq \dfrac{k\pi}{2}$)
📚 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (Góc phần tư II). Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.
Lời giải chi tiết:
+ Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.
+ Ta có: $\cos^2\alpha = 1 – \sin^2\alpha = 1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 – \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.
+ Suy ra $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.
+ $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$.
Ví dụ 2: Cho $\cos \alpha = -\dfrac{2}{3}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ (Góc phần tư III). Tính $\sin \alpha$ và $\cot \alpha$.
Lời giải chi tiết:
+ Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\sin \alpha < 0$.
+ Ta có: $\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha = 1 – \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 – \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$.
+ Suy ra $\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
+ $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
5. Giá Trị Lượng Giác Của Góc Liên Quan Đặc Biệt
Thay vì học thuộc lòng hàng chục công thức, các bạn hãy ghi nhớ câu thần chú kinh điển: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan”.
- Cos đối (Góc $\alpha$ và $-\alpha$): Chỉ có $\cos$ giữ nguyên dấu $\Rightarrow \cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Còn lại thêm dấu trừ.
- Sin bù (Góc $\alpha$ và $\pi – \alpha$): Chỉ có $\sin$ giữ nguyên dấu $\Rightarrow \sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha$.
- Phụ chéo (Góc $\alpha$ và $\dfrac{\pi}{2} – \alpha$): $\sin$ góc này bằng $\cos$ góc kia, $\tan$ góc này bằng $\cot$ góc kia $\Rightarrow \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cos \alpha$.
- Khác pi tan (Góc $\alpha$ và $\pi + \alpha$): Chỉ có $\tan$ và $\cot$ giữ nguyên dấu $\Rightarrow \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$.
📚 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \cos\left(-\dfrac{11\pi}{4}\right)$.
Lời giải chi tiết:
👉 Áp dụng Cos đối: $A = \cos\left(\dfrac{11\pi}{4}\right)$
👉 Tách chẵn vòng $2\pi$: $\cos\left(\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$
👉 Áp dụng Sin bù: $\cos\left(\pi – \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ví dụ 2: Tính giá trị $\tan\left(\dfrac{15\pi}{4}\right)$ và $\cot(-675^\circ)$.
Lời giải chi tiết: Hàm $\tan$ và $\cot$ tuần hoàn theo chu kỳ $\pi$ (hoặc $180^\circ$).
👉 $\tan\left(\dfrac{15\pi}{4}\right) = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4} + 4\pi\right) = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$.
👉 $\cot(-675^\circ) = \cot(45^\circ – 720^\circ) = \cot(45^\circ – 2 \times 360^\circ) = \cot(45^\circ) = 1$.
🎯 GÓC LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM
Kiểm tra ngay khả năng ghi nhớ kiến thức của bạn. Chọn đáp án đúng nhất nhé!
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, chiều dương được quy ước là chiều nào?
Câu 2: Cho ba tia $Ou, Ov, Ow$ bất kì. Theo hệ thức Chasles, đẳng thức nào sau đây SAI?
Câu 3: Đổi số đo góc $150^\circ$ sang đơn vị radian, ta được kết quả là:
Câu 4: Công thức tính độ dài cung tròn $l$ có số đo $\alpha$ (rad) trên đường tròn bán kính $R$ là:
Câu 5: Giả sử điểm $M(x; y)$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc $\alpha$. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
Câu 6: Nếu $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (Tức $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II) thì dấu của các giá trị lượng giác là:
Câu 7: Trong các hệ thức lượng giác cơ bản, hệ thức nào sau đây ĐÚNG?
Câu 8: Đối với hai góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$), công thức nào sau đây áp dụng nguyên tắc “Cos đối”?
Câu 9: Theo tính chất “Sin bù”, biểu thức $\sin(\pi – \alpha)$ bằng:
Câu 10: Theo tính chất “Phụ chéo” giữa hai góc $\alpha$ và $\left(\dfrac{\pi}{2} – \alpha\right)$, đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
Để lại nhận xét