Hàm số liên tục: lý thuyết và bài tập áp dụng

Trong đời sống, ta thường gặp những hiện tượng, sự vật có sự thay đổi liên tục, không đột ngột. Ví dụ như sự tăng trưởng của cây cối, sự biến đổi nhiệt độ trong ngày,… Trong toán học, để mô tả những sự thay đổi liên tục đó, ta sử dụng khái niệm hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục được định nghĩa như thế nào? Nó có những tính chất và ứng dụng gì? Bài viết này sẽ giúp ta hiểu rõ hơn về hàm số liên tục.

Khái niệm hàm số liên tục

Tính chất của hàm số liên tục

Tính chất của hàm số liên tục trên đoạn

Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm $a$ để hàm số sau liên tục tại $x = 1$:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}} & khi & x \ne 1\\
\\
2x + a & khi & x = 1
\end{array} \right.$

Lời giải:

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(\sqrt {x + 3} – 2)(\sqrt {x + 3} + 2)}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}}$

$\begin{array}{l}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 3 – 4}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x – 1}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \dfrac{1}{4}
\end{array}$
Và $f(1) = 2 + a$.

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = 2 + a$
$\Leftrightarrow a = \dfrac{-7}{4}$
Vậy $a = \dfrac{-7}{4}$ thì hàm số liên tục tại $x = 1$.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 2}} & khi & x \ne – 2\\
\\
3 – x & khi & x = – 2
\end{array} \right.$

Lời giải:

* $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \dfrac{{(x + 1)(x + 2)}}{{x + 2}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} (x + 1) = – 1$.
$f( – 2) = 3 – ( – 2) = 5$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f(x) \ne f( – 2)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x = – 2$.

Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục trên tập xác định.

Bài 3. Chứng minh phương trình ${x^3} + 3{x^2} – 2x – 2 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} – 2x – 2$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên cũng liên tục trên đoạn $[0;1]$.

Ta có: $f(0) = – 2 < 0,$ $f(1) = 1 > 0$ $\Rightarrow f(0).f(1) < 0$.

Do đó hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

Vậy phương trình ${x^3} + 3{x^2} – 2x – 2 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình ${x^5} – 5{x^3} + 4x – 1 = 0$ có ít nhất $3$ nghiệm.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x) = {x^5} – 5{x^3} + 4x – 1$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên cũng liên tục trên các đoạn $[-2;-1]$, $[-1;0]$, $[1;2]$.

Ta có:

$f( – 2) = – 7 < 0, f( – 1) = 1 > 0$ $\Rightarrow f( – 2).f( – 1) < 0$. $f( – 1) = 1 > 0, f(0) = – 1 < 0$ $ \Rightarrow f( – 1).f(0) < 0$.

$f(1) = – 1 < 0, f(2) = 7 > 0$ $\Rightarrow f(1).f(2) < 0$.

Suy ra hàm số có ít nhất $3$ nghiệm lần lượt thuộc các khoảng $( – 2; – 1),( – 1;0),(1;2)$.

Vậy phương trình ${x^5} – 5{x^3} + 4x – 1 = 0$ có ít nhất $3$ nghiệm.

Bài 5. Chứng minh rằng phương trình $sin x – cos x = 1$ có nghiệm trong khoảng $(0;\pi)$.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x) = sin x – cos x – 1$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên cũng liên tục trên đoạn $[0;\pi]$.

Ta có: $f(0) = – 2 < 0,$ $f(\pi ) = 2 > 0$ $\Rightarrow f(0).f(1) < 0$.

Suy ra hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$.

Vậy phương trình $sin x – cos x = 1$ có nghiệm trong khoảng $(0;\pi)$.

Bài học đã trình bày các kiến thức cơ bản về hàm số liên tục. Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và toán học, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình.