Hệ thức cơ bản giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác

Với một góc lượng giác $\alpha $, các giá trị lượng giác $\sin \alpha ,$ $\cos \alpha ,$ $\tan \alpha$ và $\cot \alpha $ có mối liên hệ với nhau theo các hệ thức sau:

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

$1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\,$ với $\cos \alpha \ne 0$.

$1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\,$ với $\sin \alpha \ne 0$.

$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ với $\cos \alpha \ne 0$ và $\sin \alpha \ne 0$.

Ví dụ 1: Biết $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi .$ Tính các giá trị lượng giác còn lại của $\alpha $.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{9}$

$ \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$ hoặc $\cos \alpha = – \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Vì $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $  (điểm biểu diễn của $\alpha $ nằm ở góc phần tư thứ II) nên $\cos \alpha < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha = – \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{ – \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

$\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{ – \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\dfrac{1}{3}}} = – 2\sqrt 2 $

(Hoặc $\tan \alpha .\cot \alpha = 1 \Leftrightarrow \cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{1}{{ – \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}}} = – 2\sqrt 2 $)

Ví dụ 2. Biết $\cot \alpha = \sqrt 2 $ và $ – \pi < \alpha < – \dfrac{\pi }{2}$. Tính các giá trị lượng giác còn lại của $\alpha $.

Ta có: $1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \dfrac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \dfrac{1}{3}$

$ \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$ hoặc $\sin \alpha = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vì $ – \pi < \alpha < – \dfrac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha < 0$ $ \Rightarrow \sin \alpha = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$

$\begin{array}{l}
\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha = \sin \alpha .\cot \alpha = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 2 = – \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.
\end{array}$

$\tan \alpha = \dfrac{1}{{\cot \alpha }} = \dfrac{1}{{ – \sqrt 2 }} = – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$