Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng cơ bản nhất trong các dạng toán tính khoảng cách. Tất cả các bài toán tính khoảng cách cuối cùng đều đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Trong dạng toán này, việc khó khăn nhất là dựng được đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu một trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường gặp nhất là tính khoảng cách từ chân đường vuông góc và phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách. Đây là hai lý thuyết quan trọng cần phải nắm vững để có thể giải được các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học và THPT Quốc gia.

Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Các bước tính khoảng cách

Bước 1: Dựng đường cao AK trong tam giác ABC.

Bước 2: Dựng đường cao AH trong tam giác SAK.

Bước 3: Chứng minh $AH \bot \left( {SBC} \right)$ và suy ra $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Bước 4: Tính độ dài AH.

Chú ý: Trước khi dựng đường cao AH cần phải xét tính chất của tam giác ABC để có cách dựng đúng.

1. Nếu tam giác ABC vuông ở B thì không cần dựng AK vì AB là đường cao. Ta chỉ cần dựng đường cao AH trong tam giác SAB. (tương tự nếu tam giác ABC vuông ở C).
2. Nếu tam giác ABC đều hoặc cân ở A thì K là trung điểm của BC.

Phương pháp đổi điểm tính khoảng cách

Đây là phương pháp thường sử dụng nhất. Đổi điểm có nghĩa là ta sẽ chuyển từ việc tính khoảng cách từ điểm này sang tính khoảng cách từ một điểm khác dễ dàng hơn. Mà thông thường ta sẽ chuyển về chân đường vuông góc để áp dụng trường hợp trên.

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Giả sử rằng việc dựng đường vuông góc từ M đến (P) rất khó khăn nhưng ta lại có một điểm N khác M mà việc tính khoảng cách từ N đến (P) có thể dễ dàng thực hiện được. Ta sẽ chuyền bài toán từ tính khoảng cách từ M đến (P) sang tính khoảng cách từ N đến (P). Ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: MN song song với (P).

Ta sẽ có: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {N,\left( P \right)} \right)$

Trường hợp 2: MM cắt (P) tại điểm I.

Trường hợp này ta cần biết được tỉ lệ $\dfrac{{MI}}{{NI}}$.

Khi đó ta sẽ có: $\dfrac{{d\left( {M,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {N,\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{MI}}{{NI}}$

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot (ABC)$, SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm,
BC = 5cm. Tính d(A, (SBC)).

Phân tích: Ta thấy $$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 25 \Rightarrow \Delta ABC$$ vuông tại A.
Vì $$\Delta ABC$$ không vuông tại B hoặc C nên ta sẽ dựng 2 đường cao như trong trường hợp trên.

Bài giải
Trong (ABC), dựng $$AM \bot BC$$ tại M.
Trong (SAM), dựng $$AH \bot SM$$ tại H.
Ta có:
$$\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AM\end{array} \right\}$$$$ \Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AH$$
Mà $$AH \bot SM$$ suy ra $$AH \bot \left( {SBC} \right)$$.

Vậy d(A, (SBC)) =AH
Trong ∆SAM, ta có$$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt {\dfrac{{72}}{{17}}} $$

Ví dụ 2. (ĐH khối D – Năm 2003)
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và vuông góc với nhau. Trên ∆ lấy 2 điểm A, B và C ∈ (P), D ∈ (Q) sao cho $AC \bot \Delta ,BD \bot \Delta $ và AC = AB = a. Tính d(A, (BCD)).

Phân tích:
$$\left. \begin{array}{l}(P) \bot (Q),(P) \cap (Q) = \Delta \\AC \bot \Delta ,AC \subset (P)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot (Q)$$
Ta thấy, $$\Delta ABD$$vuông tại B nên ta áp dụng dạng 2 để tính khoảng cách.

Bài giải
Trong (ABC), vẽ $$AH \bot BC$$tại H
Ta có $$BD \bot AB,DB \bot AC \Rightarrow DB \bot (ABC) \Rightarrow DB \bot AH$$
Suy ra $$AH \bot (BCD)$$
Vậy d(A,(BCD))= AH
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có $$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$$

Ví dụ 3. (ĐH khối B – Năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh AB = a. $$(SAB) \bot (ABCD),{\rm{ }}\Delta SAB$$ đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).

Bài giải

Gọi H là trung điểm AB

Ta có $$SH \bot AB$$

Vì $$(SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD)$$

và $$SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$

Vì $$AB//CD \Rightarrow d(A,(SCD)) = d(H,(SCD))$$

Gọi E là trung điểm CD

Trong mp(SHE), dựng $HK \bot SE$

Mặt khác, ta có $\left. \begin{array}{l}HE \bot CD\\SH \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SHE) \Rightarrow CD \bot KH$

$$ \Rightarrow HK \bot (SCD)$$. Vậy d(H,(SCD)) = HK

Trong tam giác vuông SHE, ta có $$\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$$

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, $$(SBC) \bot (ABC)$$, AB = 3a, BC = 4a, $$SB = 2a\sqrt 3 ,{\rm{ }}\widehat {SBC} = {30^0}$$. Tính d(B, (SAC)).

Bài giải

Kẻ $$SH \bot BC$$ tại H.

vì$$(SBC) \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot (ABC)$$

Trong tam giác vuông SHB, ta có $\cos {30^0} = \dfrac{{BH}}{{SB}} \Rightarrow BH = 3a,{\rm{ CH = a}}$

Mà $$BH \cap (SAC) = C \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CH}} = 4$$

Mà  $$\dfrac{{CB}}{{CH}} = \dfrac{{d(B,(SAC))}}{{d(H,(SAC))}} = 4$$$$ \Rightarrow d(B,(SAC)) = 4.d(H,(SAC))$$

Tính d(H, (SAC))

Trong mp(HAC), kẻ $$HE \bot AC$$ mà $$SH \bot AC \Rightarrow AC \bot (SHE) \Rightarrow (SAC) \bot (SHE)$$

Trong mp(SHE), dựng $$HK \bot SE \Rightarrow HK \bot (SAC)$$

Vậy d(H, (SAC)) = HK

Ta có $$\Delta ABC \sim \Delta HEC \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HE}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} \Rightarrow HE = \dfrac{{3a}}{5}$$

Ta tính được $$HK = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {28} }}$$

Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = $$\dfrac{{6a}}{{\sqrt 7 }}$$

Thông qua các ví dụ trên, hy vọng các em sẽ nắm được cơ bản phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để có được định hướng khi làm bài. Tuy nhiên, bài toán tính khoảng cách trong các đề thi đại học thường là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phần này ta sẽ tìm hiểu ở bài sau.