Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại học. Mức độ của bài toán này tương đối dễ. Tuy nhiên để giải được chúng ta phải nắm vững được các dạng cơ bản nhất. Khi giải mọi phương trình lượng giác ta đều đưa về các dạng này.

Xem lại bài trước: Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng f(x) = a. Trong đó f(x) là một trong bốn hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và a là một số thực. Ta sẽ lần lượt xét bốn phương trình này.

Phương trình sinx = a

• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $ – 1 \le a \le 1$.
• Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

$\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in Z)$

(với $\alpha $ là một góc lượng giác thỏa $\sin \alpha = a$)

Lưu ý: Với $\sin \alpha = a$ và $\alpha \in \left[ { – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì ta ký hiệu $\alpha = \arcsin a$. Vậy phương trình sinx = a có công thức nghiệm:

$\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin a + k2\pi \\x = \pi – \arcsin a + k2\pi\end{array} \right.(k \in Z)$

Ví dụ:

a. $\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\\x = \pi – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

b. $\sin x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \dfrac{1}{3} + k2\pi \,\,\,\\x = \pi – \arcsin \dfrac{1}{3} + k2\pi\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

c. $\sin x = \sqrt 2 $ : phương trình vô nghiệm vì $\sqrt 2 > 1$.

Phương trình cosx = a

• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $ – 1 \le a \le 1$.
• Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

$\cos x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = – \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in Z)$

(với $\alpha $ là một góc lượng giác thỏa $\cos \alpha = a$)

Lưu ý: Với $\cos \alpha = a$ và $\alpha \in \left[ { 0;\pi } \right]$ thì ta ký hiệu $\alpha = \arccos a$. Vậy phương trình cosx = a có công thức nghiệm:

$\cos x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos a + k2\pi \\x = – \arccos a + k2\pi\end{array} \right.(k \in Z)$

Ví dụ:

a. $\cos x = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{2\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\\x = – \dfrac{2\pi }{3} + k2\pi\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

b. $\cos x = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos \dfrac{2}{3} + k2\pi \,\,\,\\x = \pi – \arccos \dfrac{2}{3} + k2\pi\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

c. $\cos x = -\sqrt 2 $ : phương trình vô nghiệm vì $-\sqrt 2 < -1$.

Phương trình tanx = a

• Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
• Công thức nghiệm của phương trình:

$x = \tan a + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Lưu ý: Với $\tan \alpha = a$ và $\alpha \in \left({ – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ thì ta ký hiệu $\alpha = \arctan a$. Vậy phương trình tanx = a có công thức nghiệm:

$\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Ví dụ:

a. $\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

b. $\tan x = – 4 \Leftrightarrow x = \arctan \left( { – 4} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Phương trình cotx = a

• Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
• Công thức nghiệm của phương trình:

$x = \cot a + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Lưu ý: Với $\cot \alpha = a$ và $\alpha \in \left[ { 0;\pi } \right]$ thì ta ký hiệu $\alpha = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a$. Vậy phương trình cotx = a có công thức nghiệm:

$\cot x = a \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Ví dụ:

a. $\cot x = – \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { – \dfrac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

b. $\cot x = 3 \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Một số lưu ý

• Hạn chế sử dụng $\arcsin a,\arccos a,\arctan a,{\mathop{\rm arccot}\nolimits} a$ nếu a là giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
• Trong các công thức nghiệm, không được sử dụng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
• Các công thức nghiệm cần nhớ:

$\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi – v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

$\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = – v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

$\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ (Kèm điều kiện xác định)

$\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ (Kèm điều kiện xác định)

Một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. $\sin 2x = – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$                b. $\cos \left( {x – {{30}^0}} \right) = \dfrac{1}{2}$

c. $\tan \left( {\dfrac{x}{4}} \right) = – \sqrt 3 $             d. $\cot \left( { – 3x} \right) = 2$

Giải

a. $\sin 2x = – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { – \dfrac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = – \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.$

b. $\cos \left( {x – {{30}^0}} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x – {{30}^0}} \right) = \cos {60^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – {30^0} = {60^0} + k{360^0}\\x – {30^0} = – {60^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {90^0} + k{360^0}\\x = – {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.$

c. $\tan \left( {\dfrac{x}{4}} \right) = – \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \left( {\dfrac{x}{4}} \right) = \tan \left( { – \dfrac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{x}{4} = – \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$ \Leftrightarrow x = – \dfrac{{4\pi }}{3} + k4\pi $

d. $\cot \left( { – 3x} \right) = 2 \Leftrightarrow – 3x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 2 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{3}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} 2 – k\dfrac{\pi }{3}$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. $\sin \left( {2x – \dfrac{\pi }{5}} \right) = \cos 3x$        b. $\tan \left( {4x + {{20}^0}} \right) = – \cot x$

Giải

a. $\sin \left( {2x – \dfrac{\pi }{5}} \right) = \cos 3x \Leftrightarrow \sin \left( {2x – \dfrac{\pi }{5}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} – 3x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – \dfrac{\pi }{5} = \dfrac{\pi }{2} – 3x + k2\pi \\2x – \dfrac{\pi }{5} = \pi – \left( {\dfrac{\pi }{2} – 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in Z} \right)$   (bạn đọc tự giải tiếp)

b. $\tan \left( {4x + {{20}^0}} \right) = – \cot x \Leftrightarrow \tan \left( {4x + {{20}^0}} \right) = – \tan \left( {{{90}^0} – x} \right)$

$ \Leftrightarrow \tan \left( {4x + {{20}^0}} \right) = \tan \left( {x – {{90}^0}} \right) \Leftrightarrow 4x + {20^0} = x – {90^0} + k{180^0}\,\,\left( {k \in Z} \right)$  (bạn đọc đặt điều kiện và tự giải tiếp)

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:

$\begin{array}{l}1.sinx = sin\left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\quad \quad \quad \quad \quad \;\;2.c{\rm{os}}\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{3\pi }}{2} – 2x} \right)\quad \quad \\3.sin5x = sin7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4.tanx = tan\left( {\dfrac{\pi }{3} + 3x} \right)\\5.sin\left( {\dfrac{\pi }{3} – 3x} \right) = sin\left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right)\quad \quad \;\;6.c{\rm{os}}\left( {6x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = c{\rm{os}}x\\7.tan\left( {3x – 1} \right) = tanx\quad \quad \;\;\quad \quad \quad \;8.cot\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} – x} \right) = cot\left( {\pi + x} \right)\\9.sin\left( {\dfrac{{7x}}{3} – \dfrac{\pi }{2}} \right) = sin2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10.cos\left( {\dfrac{{2x}}{3} – \pi } \right) = cos\dfrac{x}{3}\\11.sin\left( {x + {{15}^0}} \right) = sin\left( {{{30}^0} – 2x} \right)\quad \;12.cos\left( {x + {{45}^0}} \right) = cosx\\13.tan\left( {3x – \dfrac{\pi }{4}} \right) = tan\dfrac{\pi }{6}\quad \quad \quad \quad \;14.cot\left( {\dfrac{x}{2} – {{30}^0}} \right) = cot{30^0}\\15.sin\left( {8x + 1} \right) = sin\left( {x – 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16.cos\left( {{{20}^0} – 3x} \right) = cos\left( {2x + {{10}^0}} \right)\\17.cot\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = cot\left( { – x} \right)\quad \quad \quad \;\;\;18.sin\left( {7x + {{28}^0}} \right) = sin\left( {x – {8^0}} \right)\\19.cos\left( {{8^0} + x} \right) = cos2x\quad \quad \quad \quad \,\,\,\,20.tan\left( {x + {{45}^0}} \right) = tan{15^0}\\21.cos4x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,22.sin\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\23.sin\left( {x – \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\quad \quad \quad \;\;\quad \quad \;\;\;\,\,24.cos3x = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\25.2sin\left( {4x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\quad \quad \quad \quad \;\;\;\,\,\,\,\,26.tan\left( {2x + 3} \right) = – \sqrt 3 \\27.cot\left( {{{15}^0} – x} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,28.2sin2x – 5 = 0\\29.2cos\left( {4x + {{30}^0}} \right) + \sqrt 2 = 0\quad \quad \;\;\,\,30.2sin\left( {3x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\\31.cos\left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0\quad \quad \quad \quad \quad \,\,\,\,\,\,\,\,32.sin\left( {8x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = – 1\end{array}$