Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số cơ bản

Giới hạn hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình giải tích lớp 11. Bài tập của nội dung này tương đối dễ. Tuy nhiên để làm được bài tập trong chương này học sinh cũng cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản và các phương pháp giải các dạng toán thường gặp.

Xem thêm: Bài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại một điểm $\left( {x \to {x_0}} \right)$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$

TH1: Nếu $f\left( x \right)$ xác định tại ${x_0}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ (chỉ cần thế ${x_0}$ vào hàm số $f\left( x \right)$).

TH2: Nếu thế ${x_0}$ vào $f\left( x \right)$ mà được các dạng vô định (nghĩa là $f\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$):

1. Dạng $\dfrac{0}{0}$: dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân lượng liên hợp (nếu có chứa căn).

2. Dạng $\dfrac{a}{0}$ (với $a \ne 0$, thường gặp trong giới hạn một bên): ta làm theo các bước: tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của ${x_0}$. Dựa vào dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả theo bảng dưới đây:

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} – 1} \right)$

Phân tích: ta thấy hàm số ${f(x) = \sqrt {{x^2} + 5} – 1}$ xác định tại ${x_0} = – 2$ nên ta chỉ cần thay ${x_0} = – 2$ vào hàm số là được kết quả.

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} – 1} \right) = \sqrt {{{\left( {- 2} \right)}^2} + 5} – 1 = 2$

b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2{x^2} – x – 1}}$

Phân tích: ta thấy nếu thế ${x_0} = 1$ vào hàm số $$f(x) = \dfrac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2{x^2} – x – 1}}$$ thì cả tử và mẫu đều là 0 (nghĩa là ta có dạng vô định $$\dfrac{0}{0}$$) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc hai nên ta sẽ tách theo công thức: $$a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$$ với $${x_1}$$ và $${x_2}$$ là hai nghiệm của phương trình $$a{x^2} + bx + c = 0$$.

Giải

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2{x^2} – x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x – 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 3}}{{2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}} = \dfrac{{1 + 3}}{{2\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)}} = \dfrac{4}{3}$$

c. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2 – x}}{{\sqrt {x + 7} – 3}}$$

Phân tích: dễ dàng nhận thấy đây cũng là dạng vô định $$\dfrac{0}{0}$$ nhưng ở mẫu có chứa căn nên ta sẽ dùng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Giải

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2 – x}}{{\sqrt {x + 7} – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {2 – x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 7} – 3} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {2 – x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {x + 7} } \right)}^2} – {3^2}}}$$

$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {2 – x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ { – \left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)} \right] = – 6$$

d. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x – 3}}{{2 – x}}$

Giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x – 3} \right) = 2.2 – 3 = 1 > 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 – x} \right) = 2 – 2 = 0$ và $2 – x < 0\,\forall x > 2$

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x – 3}}{{2 – x}} = – \infty $

e. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x – 1} \right)\sqrt {\dfrac{{2x + 3}}{{{x^2} – 1}}} $$ (dành cho bạn đọc)

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại vô cực $\left( {x \to \infty} \right)$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to\infty} f\left( x \right)$

Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp:

1. Rút x mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng $\dfrac{\infty }{\infty },\infty – \infty $).
2. Nhân lượng liên hợp (thường áp dụng cho dạng $\infty – \infty $ và có chứa căn thức).

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{1}{{{x^n}}} = 0$  với n nguyên dương.
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^q} = 0$  với $\left| q \right| < 1$.
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty $ với n nguyên dương.
5. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^n} = + \infty $ nếu n chẵn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^n} = – \infty $ nếu n lẻ.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2{x^3} – 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} – {x^3}}}$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2{x^3} – 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} – {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}\left( {2 – \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {\dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{x} – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2 – \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}}}{{\dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{x} – 1}} = – 2$

b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right)$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right)\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + x} } \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} – \left( {4{x^2} + x} \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ – x}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ – x}}{{2x + x\sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ – x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} } \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ – 1}}{{2 + \sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} }} = – \dfrac{1}{4}$

c. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right)$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – \sqrt {{x^2}\left( {4 + \dfrac{1}{x}} \right)} } \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x + x\sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} } \right)} \right]$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } x = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} } \right) = 4 > 0$

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{1}{x}} } \right)} \right] = – \infty $

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = – \infty $

Xem thêm: Bài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục