Chú ý: Để có kinh phí duy trì website, chúng tôi có đặt một số quảng cáo, trong đó có một quảng cáo popup, mong các bạn thông cảm!

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số cơ bản

Giới hạn hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình giải tích lớp 11. Bài tập của nội dung này tương đối dễ. Tuy nhiên để làm được bài tập trong chương này học sinh cũng cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản và các phương pháp giải các dạng toán thường gặp.

Xem thêmBài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại một điểm $\left( {x \to {x_0}} \right)$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$

TH1: Nếu $f\left( x \right)$ xác định tại ${x_0}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ (chỉ cần thế ${x_0}$ vào hàm số $f\left( x \right)$).

TH2: Nếu thế ${x_0}$ vào $f\left( x \right)$ mà được các dạng vô định (nghĩa là $f\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$):

1. Dạng $\frac{0}{0}$: dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân lượng liên hợp (nếu có chứa căn).

2. Dạng $\frac{a}{0}$ (với $a \ne 0$, thường gặp trong giới hạn một bên): ta làm theo các bước: tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của ${x_0}$. Dựa vào dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả theo bảng dưới đây:

tinh gioi han

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 1} \right)$

Phân tích: ta thấy hàm số ${f(x) = \sqrt {{x^2} + 5} - 1}$ xác định tại ${x_0} = - 2$ nên ta chỉ cần thay ${x_0} = - 2$ vào hàm số là được kết quả.

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 1} \right) = \sqrt {{{\left( {- 2} \right)}^2} + 5} - 1 = 2$

b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}$

Phân tích: ta thấy nếu thế ${x_0} = 1$ vào hàm số f(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} thì cả tử và mẫu đều là 0 (nghĩa là ta có dạng vô định \frac{0}{0}) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc hai nên ta sẽ tách theo công thức: a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) với {x_1} và {x_2} là hai nghiệm của phương trình a{x^2} + bx + c = 0.

Giải

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3}}{{2\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{1 + 3}}{{2\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{4}{3}

c. \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - x}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}

Phân tích: dễ dàng nhận thấy đây cũng là dạng vô định \frac{0}{0} nhưng ở mẫu có chứa căn nên ta sẽ dùng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Giải

\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - x}}{{\sqrt {x + 7} - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {x + 7} } \right)}^2} - {3^2}}}

 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ { - \left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)} \right] = - 6

d. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 3}}{{2 - x}}$

Giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x - 3} \right) = 2.2 - 3 = 1 > 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 0$ và $2 - x < 0\,\forall x > 2$

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = - \infty $

e. \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 1}}} (dành cho bạn đọc)

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại vô cực $\left( {x \to \infty} \right)$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to\infty} f\left( x \right)$

Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp:

  1. Rút x mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng $\frac{\infty }{\infty },\infty - \infty $).
  2. Nhân lượng liên hợp (thường áp dụng cho dạng $\infty - \infty $ và có chứa căn thức).

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$
  2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = 0$  với n nguyên dương.
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^q} = 0$  với $\left| q \right| < 1$.
  4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty $ với n nguyên dương.
  5. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = + \infty $ nếu n chẵn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty $ nếu n lẻ.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^3} - 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} - {x^3}}}$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^3} - 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}\left( {2 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{4}{x} - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{4}{x} - 1}} = - 2$

b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + x} } \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^2} - \left( {4{x^2} + x} \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{2x + x\sqrt {4 + \frac{1}{x}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} }} = - \frac{1}{4}$

c. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)$

Giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {{x^2}\left( {4 + \frac{1}{x}} \right)} } \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + x\sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)} \right]$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right) = 4 > 0$

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)} \right] = - \infty $

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = - \infty $

Xem thêmBài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục

Có 31 trả lời

  1. http://bùi%20duy%20thiện says

    thầy cho em hỏi ở phần c và b ở dạng x tiến tới vô cùng ấy sao phần b em làm theo cách của phần c thì kết quả lại khác ak

    • http://Công%20Hậu says

      ban gửi hình qua cho mình đi bài giải của bạn đấy....mình xem rồi giải thích dùm cho

      • http://thuyduong says

        Can x+can+2 rút căn 2 sao a

      • http://Đặng%20Linh%20anh says

        câu c đó mình nhân liên hợp ra kq là -1/4. Giải thích với

      • http://hoàng says

        A ơi sao trg căn nhân lượng liên hiệp là a Bình cộng b bình trêncho a trừ b đúng hk là mình giữ lại cái mẫu à

  2. http://long says

    hay

  3. http://nguyễn%20anh%20tuấn says

    Ai giải giúp mình vs ạh...lim xcăn 1+4x
    . x->0

  4. http://Hoàng%20Bảo%20Ngọc says

    thầy giúp em với ạ: lim(x-> -1) |x-1|/ (x^4 + x -3 )

  5. http://lêhuyền%20trân says

    Thầy giải hay max bữa jờ e cứ nhầm lẫn các cách giải vs nhau jờ e đã hiểu e cãm ơn

  6. http://Be%20lun says

    Bai nay minh ap dung bao nhieu phuong phap vay thay

  7. http://Linh says

    Giải giúp mk bài nay di.lim x—>2.(x+7 tat ca can mu 3-2 )÷(x-2)

  8. http://hien says

    em co mot thac mac la neu tinh lim o phan so thi o lop co day em dat bien co so mu lon nhat cua ca tu va mau ra ngoai nhung o lop hoc then thi thay lai day em dat bien co so mu lon nhat cua tu ra ngoai ,cua mau ra ngoai roi moi lay bien da dat ra chia cho bien co so mu lon nhat cua ca tu va mau.moi dau em tuong do la hai cach nhung sau khi lam cung mot bai voi hai cach nhu tren thi khong ra ket qua giong nhau .vay cho em hoi em nen lam theo cach nao thi dung a.

  9. http://trần%20tuấn%20kiệt says

    thầy gửi tài liệu về bài tập lim giúp em với ạ!!!
    e cảm ơn thầy

  10. http://phuong says

    câu b và c của x tiến tới vô cực tại sao lại làm theo 2 cách khác nhau z

    • http://Admin says

      Một trường hợp là  + \infty , một trường hợp là  - \infty . Nếu câu a bạn rút x giống câu b sẽ ra dạng vô định.

  11. http://Nguyễn%20Minh%20Khang says

    Cho em email của thầy đc hông?

  12. http://2226 says

    Nhờ thầy giải dùm em hai bài này với ạ:
    1: lim căn bậc hai của (2x+3) + x-6/x^2-9
    2: lim(x^2+1) nhân với căn bậc hai của (2x+1)-1/x
    Em cảm ơn ạ

  13. http://Thuhuyen says

    Tai sao cau b voi c chi khac nhau x->-○○ va x->+○○ ma mot cai thi nhan lien hop mot cai thi xet dau vay thay

  14. http://quan says

    may anh giai dum em bai nay voi....em cam on nhieu

    L=lim ((x^2 +3x +4)ln(cosx)+cos2x-1)/((2x^2+x +1)(sin2x+x^2)^2)
    x------>0

    0

  15. http://Hoàng%20Hạnh%20Nguyên says

    Thầy ơi cho e hỏi khi nào thì nhân lien hợp khi nào thì đặt nhân tử chung ạ?

  16. http://điệp says

    sao phần c đang trừ lại thành cộng vậy thầy

  17. http://Hoa%20nắng says

    Cho em hỏi khi : lim (X.e mũ x - 1 - x ) khi x tiến tới âm vô cùng có phải bằng -1 ko . em cảm ơn ạ

  18. http://Lê%20Hải%20Đăng says

    Phần c giải sai rồi chỗ dấu bằng thứ 3 phải là 2x-xcăn(4+1\x)

  19. http://Nguyên says

    Ahuhu. Có phương pháp dùng các định nghĩa và định lí không ạ ???

  20. http://Cao%20Thị%20Phương%20Mai says

    Bài giảng rất dễ hiểu. Cảm ơn thầy giáo!

Ý kiến bạn đọc

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Đăng ký nhận bài giảng và tài liệu mới qua email

Cập nhật tài liệu toán hay và mới nhất.

Họ và tên:



Email*:



Bạn đã đăng ký thành công!