Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác, ta cần nhớ điều kiện xác định của bốn hàm số lượng giác cơ bản:
- Hàm số $y = \sin x$ xác định với mọi $x \in R$.
- Hàm số $y = \cos x$ xác định với mọi $x \in R$.
- Hàm số $y = \tan x$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$.
- Hàm số $y = \cot x$ xác định khi $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in Z$.
Vậy khi giải bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác, chúng ta chỉ cần quan tâm một số yếu tố sau trong hàm số:
- Hàm số có chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn $ \Rightarrow $ ĐK: biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0.
- Hàm số có chứa ẩn ở mẫu $ \Rightarrow $ ĐK: mẫu thức khác 0.
- Hàm số có chứa $\tan X$ $ \Rightarrow $ ĐK: $\cos X \ne 0$.
- Hàm số có chứa $\cot X$ $ \Rightarrow $ ĐK: $\sin X \ne 0$.
Lưu ý thêm khi tìm điều kiện xác định của hàm số mà ta được các bất phương trình lượng giác thì ta sẽ sử dụng tính chất
$\begin{array}{l}- 1 \le \sin x \le 1\\- 1 \le \cos x \le 1\end{array}$
để biện luận bất phương trình.
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
a. $y = \dfrac{{\tan 2x}}{{1 – \cos x}}$
Nhận xét: trong hàm số này có hai điểm cần điều kiện là ${\tan 2x}$ và mẫu. Vậy ta sẽ trình bày như sau:
Hàm số xác định khi:
$\left\{ \begin{array}{l}
\cos 2x \ne 0\\
1 – \cos 2x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
\cos x \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x \ne k2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k2\pi |k \in Z} \right\}$
b. $y = \dfrac{{\sqrt {1 + \sin 3x} }}{{\sqrt {1 – \sin 3x} }}$
Nhận xét: trong hàm số này ta lưu ý có hai căn bậc hai nằm ở tử và mẫu nên ta có điều kiện xác định của hàm số là:
$\left\{ \begin{array}{l}
1 + \sin 3x \ge 0{\,^{\left( 1 \right)}}\\
1 – \sin 3x > 0{\,^{\left( 2 \right)}}
\end{array} \right.$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin 3x \ge – 1$, điều này đúng với mọi $x \in R$.
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin 3x < 1 \Leftrightarrow \sin 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{{2\pi }}{3}|k \in Z} \right\}$
c. $y = \sqrt {\dfrac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 – \sin x}}} $
Hàm số xác định khi: $\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 – \sin x}} \ge 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.\,\,\left( * \right)$
Vì ${1 + {{\tan }^2}x \ge 0\,\,\forall x \in R}$ (với $\cos x \ne 0$) nên điều kiện (*) tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}
1 – \sin x > 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.$
Các bạn có thể tự giải tiếp điều kiện này.
Bài tập áp dụng: tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
Để lại nhận xét