Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác, ta cần nhớ điều kiện xác định của bốn hàm số lượng giác cơ bản:

  1. Hàm số $y = \sin x$ xác định với mọi $x \in R$.
  2. Hàm số $y = \cos x$ xác định với mọi $x \in R$.
  3. Hàm số $y = \tan x$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$.
  4. Hàm số $y = \cot x$ xác định khi $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in Z$.

Vậy khi giải bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác, chúng ta chỉ cần quan tâm một số yếu tố sau trong hàm số:

  1. Hàm số có chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn $ \Rightarrow $ ĐK: biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0.
  2. Hàm số có chứa ẩn ở mẫu $ \Rightarrow $ ĐK: mẫu thức khác 0.
  3. Hàm số có chứa $\tan X$ $ \Rightarrow $ ĐK: $\cos X \ne 0$.
  4. Hàm số có chứa $\cot X$ $ \Rightarrow $ ĐK: $\sin X \ne 0$.

Lưu ý thêm khi tìm điều kiện xác định của hàm số mà ta được các bất phương trình lượng giác thì ta sẽ sử dụng tính chất

$\begin{array}{l}- 1 \le \sin x \le 1\\- 1 \le \cos x \le 1\end{array}$

để biện luận bất phương trình.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a. $y = \frac{{\tan 2x}}{{1 – \cos x}}$

Nhận xét: trong hàm số này có hai điểm cần điều kiện là ${\tan 2x}$ và mẫu. Vậy ta sẽ trình bày như sau:

Hàm số xác định khi:

$\left\{ \begin{array}{l}
\cos 2x \ne 0\\
1 – \cos 2x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\cos x \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x \ne k2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k2\pi |k \in Z} \right\}$

b. $y = \frac{{\sqrt {1 + \sin 3x} }}{{\sqrt {1 – \sin 3x} }}$

Nhận xét: trong hàm số này ta lưu ý có hai căn bậc hai nằm ở tử và mẫu nên ta có điều kiện xác định của hàm số là:

$\left\{ \begin{array}{l}
1 + \sin 3x \ge 0{\,^{\left( 1 \right)}}\\
1 – \sin 3x > 0{\,^{\left( 2 \right)}}
\end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin 3x \ge – 1$, điều này đúng với mọi $x \in R$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin 3x < 1 \Leftrightarrow \sin 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in Z} \right\}$

c. $y = \sqrt {\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 – \sin x}}} $

Hàm số xác định khi: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 – \sin x}} \ge 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.\,\,\left( * \right)$

Vì ${1 + {{\tan }^2}x \ge 0\,\,\forall x \in R}$ (với $\cos x \ne 0$) nên điều kiện (*) tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}
1 – \sin x > 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.$

Các bạn có thể tự giải tiếp điều kiện này.

Bài tập áp dụng: tìm tập xác định của các hàm số sau:

tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: