Phương pháp xét tính liên tục của hàm số

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về khai niệm hàm số liên tục và phương pháp để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.

Xem lại: Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số cơ bản

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $k$ chứa điểm ${x_0}$. Hàm số $f$ được goi là liên tục tại ${x_0}$ nếu :

$\mathop{\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Ta hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại ${x_0}$ nghĩa là đồ thị hàm số $f$ không bị đứt đoạn tại ${x_0}$. Ngược lại nếu đồ thị bị đứt đoạn tại ${x_0}$ thì hàm số không liên tục tại ${x_0}$, ta nói hàm số gián đoạn tại ${x_0}$.

Các bước xét tính liên tục tại một điểm

Dựa vào định nghĩa, ta có thể rút ra các bước để xét tính liên tục của hàm số tại điểm ${x_0}$.

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính $\mathop{\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$.

Bước 3. Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 4. So sanh $\mathop{\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ và $f\left( {{x_0}} \right)$ để rút ra kết luận.

Bài tập xét tính liên tục tại một điểm

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2$ tại điểm ${x_0} = 1$.

Giải

Tập xác định: $D = R$

$\mathop{\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop{\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} – 3x + 2} \right) = 0$

$f\left( 1 \right) = 0$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$  nên hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne – 2\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = – 2\end{array} \right.$ tại ${x_0} = -2$.

Giải

Tập xác định: $D = R$

$\mathop{\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \mathop{\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right) = – 4$

$f\left( { – 2} \right) = 3$

Vậy $\mathop{\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) \ne f\left( { – 2} \right)$ nên hàm số gián đoạn tại ${x_0} = -2$.

Hàms số liên tục trên một khoảng

Hàm số $y = f\left( x \right)$ gọi là liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm trên đoạn $\left( {a;b} \right)$.

Ta hiểu hàm số liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nghĩa là đồ thị của hàm số không bị đứt đoạn trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left[ {a;b} \right]$ và:

$\mathop{\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);\,\,\,\,\,\mathop{\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$

Một số tính chất

1. Nếu hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số $f$ và $g$ cũng liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ (với trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 với mọi $x$ thuộc $\left( {a;b} \right)$).

2. Hàm số đa thức liên tục trên $R$.

3. Hàm số lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne – 2\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = – 2\end{array} \right.$ trên $R$.

Giải

+ Với $x \ne – 2$ thì $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng xác định. Suy ra $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

+ Với $x = – 2$ thì theo ví dụ 2, hàm số không liên tục tạ $x = – 2$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục trên $R$.