Bài toán biện luận số nghiệm phương trình chứa tham số bằng đồ thị

Một dạng toán tương giao đồ thị hàm số quan trọng mà ta thường gặp là bài toán biến luận số nghiệm của phương trình theo tham số bằng phương pháp đồ thị. Bài toán mà ta thường gặp như sau:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $g\left( x, m \right) = 0$ (*) với m là tham số.

Ở đây ta sẽ giải câu b) bằng cách dựa và đồ thị (C) đã được vẽ ở câu a). Ta làm như sau:

Bước 1. Biến đổi phương trình $g\left( x \right) = 0$ về dạng $f\left( x \right) = h\left( m \right)$ với $f\left( x \right)$ là hàm số ta đã vẽ đồ thị và h(m) không chứa x.

Bước 2. Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = h\left( m \right)$ (Đường thẳng  d: $y = h\left( m \right)$ đi qua điểm $\left( {0,h\left( m \right)} \right)$ và song song hoặc trùng với trục Ox).

Bước 3. Dựa vào đồ thị (C) để biện luận giá trị của m, số giao điểm và suy ra số nghiệm phương trình.

Xem thêmBài toán tương giao đồ thị hàm số

Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0$ (*)

Giải

a. Dành cho bạn đọc.

Đồ thị (C)do thi ham so

b. Ta có: $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} – 3{x^2} + 1 = m+2$

Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = m+2$

  • Với $\left[ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\m + 2 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > – 1\end{array} \right.$ thì d và (C) có một điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có một nghiệm.
  • Với $\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 1\end{array} \right.$ thì d và (C) có hai điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm.
  • Với $0 < m + 2 < 1 \Leftrightarrow – 2 < m < – 1$ thì thì d và (C) có ba điểm chung $ \Rightarrow $ phương trình (*) có ba nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$ có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b. Tìm k để phương trình $- {x^4} + 4{x^2} – 3 – m = 0$ (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải

a. Dành cho bạn đọc.

Đồ thị (C)

do thi ham so bac 4

b. Ta có: ${x^4} – 4{x^2} + 3 = – m$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = -m$.

Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.

$ \Rightarrow – 1 < – m < 3 \Leftrightarrow – 3 < m < 1$

Vậy với – 3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Một số bài tập nâng cao tham khảo:

Bài 1:  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4$. Tìm m để phương trình $2{\left| x \right|^3} – 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ có sáu nghiệm phân biệt.

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$. Tìm m để phương trình ${\left| {x – 1} \right|^3} – 3\left| {x – 1} \right| – m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$. Tìm m để phương trình $\left| {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + \frac{3}{4}} \right| = m$ có đúng tám nghiệm phân biệt.

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Có 4 trả lời

  1. D?ng bai toan quy?t d?nh c?a bai toan x?p ba lo la cau h?i “co th? d?t du?c m?t gia tr? it nh?t la bao nhieu theo phat bi?u c?a bai toan”.

  2. bùi hoàng nam says

    Cho gui bai toan len duoc thi hay

  3. một số BT tham khảo không có giải ạ?

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: