Lý thuyết tương giao đồ thị hai hàm số và bài tập

Ta thương gặp các bài toán về mối liên hệ giữa đồ thị của hài hàm số, những bài toán như vậy gọi chung là bài toán tương giao đồ thị. Để giải được các bài toán này, ta chú ý một số điểm sau:

Xem thêm: Bài toán biện luận theo m số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Các dạng toán tương giao đồ thị

Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm hay tìm số giao điểm của hai đồ thị.

Ví dụ 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $y = {x^2} – x + 2$ và $y = {x^3} – 4{x^2} + 7x – 2$.
Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

$\begin{array}{l}{x^2} – x + 2 = {x^3} – 4{x^2} + 7x – 2\\\Leftrightarrow {x^3} – 5{x^2} + 8x – 4 = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy hai hàm số trên có đồ thị cắt nhau tại điểm $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$.

Lưu ý: Trong hai nghiệm trên thì $x = 2$ là nghiệm kép và $x = 1$ là nghiệm đơn nên hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm $\left( {2;4} \right)$ và cắt nhau tại điểm $\left( {1;2} \right)$.

Ví dụ 2. Tìm số giao điểm của đồ thị hai hàm số $$y = {x^3} – 3x – 5$$ và $$y = 2{x^2} + 2x – 11$$.

A. 0                            B. 1                             C. 2                             D. 3

Hương dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:

$${x^3} – 3x – 5 = 2{x^2} + 2x – 11$$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 3\\x = 1\end{array}\right.$

Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm nên hai đồ thị có 3 giao điểm. Ta chọn đáp án D.

Ví dụ 3. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $$y = \dfrac{{x – 3}}{{x + 1}}$$ và đường thẳng $$y = 2x + 9$$ là:

A. $$\left( {-2;5} \right)$$ và $$\left( {-3;3} \right)$$                                  B.   $$\left( {-2;-3} \right)$$

C. $$\left( {-2;-3} \right)$$ và $$\left( {5;3} \right)$$                                  D. Không có giao điểm

Hương dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:

$$\dfrac{{x – 3}}{{x + 1}} = 2x + 9$$$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 \Rightarrow y = 5\\x = – 3 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.$$

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là $$\left( {-2;5} \right)$$ và $$\left( {-3;3} \right)$$. Ta chọn đáp án A.

Dạng 2. Tìm tham số m để đồ thị hài hàm số thỏa điều kiện cho trước.

Ví dụ 4. Chứng minh đồ thị của hai hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}$ và $y = – x + m$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}} = – x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {4 – m} \right)x + 1 – 2m = 0\,\,(*)$

Vì phương trình (*) có $\Delta = {m^2} – 4m + 12 = {\left( {m – 2} \right)^2} + 8 > 0$ và -2 không phải là nghiệm nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Vậy đồ thị của hai hàm số luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Ví dụ 5. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số: $y = \dfrac{{m{x^2} + x + m}}{{x – 1}}$ cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.

Giải

Trục Ox có phương trình là $y = 0$.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và trục Ox:

$\dfrac{{m{x^2} + x + m}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + x + m = 0\,\,\,(*)$

Để (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – 4{m^2} > 0\\1 + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { – \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]$

Vậy với $m \in \left( { – \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]$ thì (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn

Ví dụ 6. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:

$x + m = \dfrac{{x + 1}}{{x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 2} \right)x – m – 1 = 0\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)$

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm thị phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + \left( {m – 2} \right) – m – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m – 2} \right)^2} + 4\left( {m + 1} \right) > 0\\- 2 \ne 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow {m^2} + 8 > 0 \Leftrightarrow m \in $

Vậy ta chọn đáp án D.

Ví dụ 7. Dành cho bạn đọc.

Dạng 3. Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m.

Dạng toán này bạn có thể tham khảo ở bài viết “Bài toán biện luận số nghiệm phương trình chứa tham số bằng đồ thị“.