Định nghĩa tích phân và các tính chất của tích phân

Tiếp theo loạt bài viết về nguyên hàm và tích phân, trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa tích phân và các tính chất của tích phân.

Xem thêm: Khái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất

Định nghĩa tích phân

Cho $f\left( x \right)$ là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn  [a; b]. Khi đó hiệu $F\left( b \right) – F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số $f\left( x \right)$.

Tích phân từ a đến b của $f\left( x \right)$ được ký hiệu là: $\int\limits_a^b {f(x)dx} $

Ta có: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F\left( b \right) – F\left( a \right)$ (với $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$)

Ta thường sử dụng ký hiệu $F\left( x \right)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.$ để chỉ hiệu $F\left( b \right) – F\left( a \right)$.

Vậy ta có: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F\left( x \right)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = F\left( b \right) – F\left( a \right)$

Ví dụ 1: $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x$ trên đoạn [1;2] nên tích phân từ 1 đến 2 của $f\left( x \right)$ là $F\left( 2 \right) – F(1) = {2^2} – {1^2} = 3$.

Vậy ta có: $\int\limits_1^2 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = {2^2} – {1^2} = 3$

Lưu ý: Ta biết rằng nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên [a; b] thì $F\left( x \right) + C$ (với C là một số thuộc R) cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên [a; b]. Vậy nếu ta sử dụng $F\left( x \right) + C$ để tính tích phân từ a đến b của $f\left( x \right)$ thì có khác so với sử dụng $F\left( x \right)$ hay không? Câu trả lời là không có gì khác bởi vì:

$\left( {F\left( b \right) + C} \right) – \left( {F\left( a \right) + C} \right) = F\left( b \right) + C – F\left( a \right) – C = F\left( b \right) – F\left( a \right)$

Vậy khi tính tích phân của $f\left( x \right)$ ta có thể sử dụng nguyên hàm là $F\left( x \right)$ hoặc $F\left( x \right) + C$ tùy ý. Tuy nhiên để tránh phức tạp thì ta thường sử dụng $F\left( x \right)$ (trừ một số trường hợp đặc biệt).

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + x} \right)dx} = \left( {{x^3} + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \left( {{1^3} + \dfrac{{{1^2}}}{2}} \right) – \left( {{0^3} + \dfrac{{{0^2}}}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}$

b) $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \cos x\left| \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \left( { – \cos \dfrac{\pi }{2}} \right) – \left( { – \cos 0} \right) = 1$

c) $\int\limits_1^e {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \ln 1 – \ln e = – 1$

Lưu ý: Ta có một số quy ước sau:

1) $\int\limits_a^a {f(x)dx} = 0$

2) $\int\limits_a^b {f(x)dx} = – \int\limits_b^a {f(x)dx} $

Xem thêm:

1. Khái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất
2. Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
3. Phương pháp tính tích phân – phương pháp đổi biến

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: Với k là một hằng số thì ta có tính chất sau:

$\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} $

Nghĩa là ta có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3: $\int\limits_1^2 {\dfrac{4}{{{x^2}}}dx} = 4\int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} = 4\left[ {\left( { – \dfrac{1}{x}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right.} \right] = 4\left[ {\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) – \left( { – \dfrac{1}{1}} \right)} \right] = 2$

Tính chất 2: Ta có thể tách tích phân từ a đến b của một tổng hay một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.

$\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} $

Ví dụ 4: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {x + \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {xdx} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos xdx} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Tính chất 3: Với một số c nằm giữa a và b thì ta có thể tách tích phân từ a đến b thành tổng của hai tích phân từ a đến c và từ c đến b.

$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} $ với $a < c < b$.

Tính chất này thường áp dụng để tính các tích phân có dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ 5: Tính tích phân: $I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

Phân tích: Ta có bảng xét dấu của $x – 1$ trên đoạn [0; 2]

Trên đoạn [0; 1] thì $x – 1 \le 0$ nên $\left| {x – 1} \right| = 1 – x$.

Trên đoạn [1; 2] thì $x – 1 \ge 0$ nên $\left| {x – 1} \right| = x – 1$.

Giải

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^1 {\left( {1 – x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx = } \left( {x – \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 1$

Lưu ý: Trong ví dụ 4 ta có thể không cần quan tâm đến dấu của $x – 1$ mà chỉ cần đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Ta sẽ giải như sau:

$\int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

$ = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right.} \right|$

$ = \left| {\dfrac{1}{2}} \right| + \left| { – \dfrac{1}{2}} \right| = 1$

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các tích phân sau:

1) $$\int\limits_0^1 {(5{x^4} – {x^2} + 3)dx} $$          2) $$\int\limits_0^1 {{{(2x -2)}^4}} dx$$

3) $$\int\limits_0^2 {{e^{ – x + 5}}dx} $$                           4) $$\int\limits_{ – 1}^0 {\dfrac{3}{{ – 2x + 1}}} dx$$

5) $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{8}} {{{\cos }^2}2xdx} $$                         6) $$\int\limits_1^2 {\dfrac{{2{x^3} – 5{x^2}}}{{{x^2}}}} dx$$

7) $$\int\limits_1^4 {\left| {x – 2} \right|dx} $$                         8) $$\int\limits_0^1 {\left| {{e^{2x – 1}} – 1} \right|} dx$$

Như vậy trong bài này chúng ta cần phải nắm được định nghĩa tích phân và các tính chất của tích phân. Giải được một số bài tập tích phân cơ bản. Trong bài sau ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp tính tích phân bao gồm phương pháp đổi biến loại 1, đổi biến loại 2 và tích phân từng phần.