Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lý thuyết cơ bản về đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$. Hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau:

Dạng 1: Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$

Ta biết rằng $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right)\,\,khi\,\,f\left( x \right) \ge 0\\
– f\left( x \right)\,\,khi\,\,f\left( x \right) < 0
\end{array} \right.$, vậy nên đồ thị $\left( C’ \right)$  của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ được suy ra từ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng cách:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$

Dạng 2: Đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$

Ta biết rằng $f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right)\,\,khi\,\,x \ge 0\\
f\left( { – x} \right)\,\,khi\,\,x < 0
\end{array} \right.$, vậy nên đồ thị $\left( C” \right)$ của hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ được suy ra từ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng cách:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$

Một số ví dụ về đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối

Câu 1. Hình bên là đồ thị của hàm số $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|=2-m$ có 8 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn

Hàm số $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1$ có đồ thị:

Từ đó suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {2{x^4} – 4{x^2} + 1} \right|$:

Để phương trình $\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|=2-m$ có 8 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $d:y = 2 – m$ phải cắt đồ thị tại 8 điểm $ \Leftrightarrow 0 < 2 – m < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 2$.

Đáp án C.

Câu 2.  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{2\left| x \right|+1}{\left| x \right|-1}=m-1$ có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn

Hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ có đồ thị:
Suy ra đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| – 1}}$:

Từ đồ thị suy ra để phương trình $\dfrac{2\left| x \right|+1}{\left| x \right|-1}=m-1$ có hai nghiệm phân biệt thì $\left[ \begin{array}{l}
m – 1 > 2\\
m – 1 < – 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < 0
\end{array} \right.$

Đáp án D.