Phương pháp giải phương trình số phức cơ bản và nâng cao

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

Phương pháp 1: rút $z$ hoặc $\bar z$

Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn $z$ hoặc $\bar z$.

Ví dụ 1: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {1 - i} \right)z + 3 - 4i = 0$.

Giải:

$\left( {1 - i} \right)z + 3 - 4i = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 3 + 4i}}{{1 - i}} \Leftrightarrow z = - \frac{7}{2} + \frac{1}{2}i$

Ví dụ 2: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {i\,\bar z - 3} \right)\left( {2 - i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

Giải:

$\left( {i\,\bar z - 3} \right)\left( {2 - i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \left( {2i + 1} \right)\bar z - 6 + 3i + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \bar z\left( {2i + 1 + 1 + 2i} \right) = i + 1 + 6 - 3i$

$ \Leftrightarrow \bar z = \frac{{7 - 2i}}{{2 + 4i}} = \frac{3}{{10}} - \frac{8}{5}i \Rightarrow z = \frac{3}{{10}} + \frac{8}{5}i$

Phương pháp 2: đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$

Phương pháp này có thể sử dụng với các phương trình có chứa nhiều ẩn như $z,\bar z,\left| z \right|$. Ta áp dụng lý thuyết hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 3: Tìm số phức $z$ biết $(2 - i)z - (5 + 3i)\overline z = - 17 + 16i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) - \left( {5 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow 2a + 2bi - ai + b - 5a + 5bi - 3ai - 3b = - 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b - 5a - 3b = - 17\\2b - a + 5b - 3a = 16\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 3a - 2b = - 17\\- 4a + 7b = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.$

Vậy $z = 3 + 4i$.

Ví dụ 4: Tìm số phức $z$ biết $z.\overline z + \left( {z - \overline z } \right) = 4 - 2i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + \left( {a + bi - a + bi} \right) = 4 - 2i$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2bi = 4 - 2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4\\2b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 1 = 4\\b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \pm \sqrt 3 \\b = - 1\end{array} \right.$

Vậy $z = \sqrt 3 - i$ hoặc $z = \sqrt 3 + i$

Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức

Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:

$\overline {{z_1} \pm {z_2}} = {\bar z_1} \pm {\bar z_2}$	$\overline {{z_1}.{z_2}} = {{\bar z}_1}.{{\bar z}_2}$	$\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}}$
$\left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1}.{z_2}} \right|$	$\frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|$	$z.\bar z = {\left| z \right|^2}$

Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

Ví dụ 5: Tìm số phức $z$ biết $\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2$ và $\left| z \right| = 2$.

Giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2\\\left| z \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z^2} + \bar z} \right|.\left| z \right| = 4$

$ \Leftrightarrow \left| {{z^3} + {{\left| z \right|}^2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{z^3} + 4} \right| = 4$

Đặt $w = {z^3}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right.$

Đặt $w = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = 16\\{a^2} + {b^2} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 8\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy $w = - 8 \Leftrightarrow z = - 2$ (thử lại ta thấy thỏa yêu cầu).

Ví dụ 6: Tìm số phức $z$ biết $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i$.

Giải:

$\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i$

$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{z} = \left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 - i$

$ \Rightarrow \left| {\frac{{\sqrt {10} }}{z}} \right| = \left| {\left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 - i} \right|$

$ \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {{{\left| z \right|}^2} + 4\left| z \right| + 4 + 4{{\left| z \right|}^2} - 4\left| z \right| + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {5{{\left| z \right|}^2} + 5} \right) \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$

Thế lại ta được: $\frac{{\sqrt {10} }}{z} = 3 + i$$ \Leftrightarrow z = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}i$