Phương pháp giải phương trình số phức cơ bản và nâng cao

Chú ý: Để có kinh phí duy trì website, chúng tôi có đặt một số quảng cáo, trong đó có một quảng cáo popup, mong các bạn thông cảm!

Phương pháp giải phương trình số phức cơ bản và nâng cao

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

Phương pháp 1: rút $z$ hoặc $\bar z$

Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn $z$ hoặc $\bar z$.

Ví dụ 1: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {1 - i} \right)z + 3 - 4i = 0$.

Giải:

$\left( {1 - i} \right)z + 3 - 4i = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 3 + 4i}}{{1 - i}} \Leftrightarrow z = - \frac{7}{2} + \frac{1}{2}i$

Ví dụ 2: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {i\,\bar z - 3} \right)\left( {2 - i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

Giải:

$\left( {i\,\bar z - 3} \right)\left( {2 - i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \left( {2i + 1} \right)\bar z - 6 + 3i + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \bar z\left( {2i + 1 + 1 + 2i} \right) = i + 1 + 6 - 3i$

$ \Leftrightarrow \bar z = \frac{{7 - 2i}}{{2 + 4i}} = \frac{3}{{10}} - \frac{8}{5}i \Rightarrow z = \frac{3}{{10}} + \frac{8}{5}i$

Phương pháp 2: đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$

Phương pháp này có thể sử dụng với các phương trình có chứa nhiều ẩn như $z,\bar z,\left| z \right|$. Ta áp dụng lý thuyết hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 3: Tìm số phức $z$ biết $(2 - i)z - (5 + 3i)\overline z = - 17 + 16i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) - \left( {5 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow 2a + 2bi - ai + b - 5a + 5bi - 3ai - 3b = - 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b - 5a - 3b = - 17\\2b - a + 5b - 3a = 16\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 3a - 2b = - 17\\- 4a + 7b = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.$

Vậy $z = 3 + 4i$.

Ví dụ 4: Tìm số phức $z$ biết $z.\overline z + \left( {z - \overline z } \right) = 4 - 2i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + \left( {a + bi - a + bi} \right) = 4 - 2i$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2bi = 4 - 2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4\\2b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 1 = 4\\b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \pm \sqrt 3 \\b = - 1\end{array} \right.$

Vậy $z = \sqrt 3 - i$ hoặc $z = \sqrt 3 + i$

Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức

Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:

$\overline {{z_1} \pm {z_2}} = {\bar z_1} \pm {\bar z_2}$ $\overline {{z_1}.{z_2}} = {{\bar z}_1}.{{\bar z}_2}$ $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}}$
$\left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1}.{z_2}} \right|$ $\frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|$ $z.\bar z = {\left| z \right|^2}$

Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

Ví dụ 5: Tìm số phức $z$ biết $\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2$ và $\left| z \right| = 2$.

Giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2\\\left| z \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z^2} + \bar z} \right|.\left| z \right| = 4$

$ \Leftrightarrow \left| {{z^3} + {{\left| z \right|}^2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{z^3} + 4} \right| = 4$

Đặt $w = {z^3}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right.$

Đặt $w = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = 16\\{a^2} + {b^2} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 8\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy $w = - 8 \Leftrightarrow z = - 2$ (thử lại ta thấy thỏa yêu cầu).

Ví dụ 6: Tìm số phức $z$ biết $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i$.

Giải:

$\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i$

$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{z} = \left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 - i$

$ \Rightarrow \left| {\frac{{\sqrt {10} }}{z}} \right| = \left| {\left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 - i} \right|$

$ \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {{{\left| z \right|}^2} + 4\left| z \right| + 4 + 4{{\left| z \right|}^2} - 4\left| z \right| + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {5{{\left| z \right|}^2} + 5} \right) \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$

Thế lại ta được: $\frac{{\sqrt {10} }}{z} = 3 + i$$ \Leftrightarrow z = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}i$

Ý kiến bạn đọc

Đăng ký nhận bài giảng và tài liệu mới qua email

Cập nhật tài liệu toán hay và mới nhất.

Họ và tên:



Email*:



Bạn đã đăng ký thành công!