Phương pháp giải phương trình số phức cơ bản và nâng cao

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

Phương pháp 1: rút $z$ hoặc $\bar z$

Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn $z$ hoặc $\bar z$.

Ví dụ 1: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {1 – i} \right)z + 3 – 4i = 0$.

Giải:

$\left( {1 – i} \right)z + 3 – 4i = 0 \Leftrightarrow z = \dfrac{{ – 3 + 4i}}{{1 – i}} \Leftrightarrow z = – \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2}i$

Ví dụ 2: Tìm số phức $z$ thỏa: $\left( {i\,\bar z – 3} \right)\left( {2 – i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

Giải:

$\left( {i\,\bar z – 3} \right)\left( {2 – i} \right) + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \left( {2i + 1} \right)\bar z – 6 + 3i + \bar z\left( {1 + 2i} \right) = i + 1$

$ \Leftrightarrow \bar z\left( {2i + 1 + 1 + 2i} \right) = i + 1 + 6 – 3i$

$ \Leftrightarrow \bar z = \dfrac{{7 – 2i}}{{2 + 4i}} = \dfrac{3}{{10}} – \dfrac{8}{5}i \Rightarrow z = \dfrac{3}{{10}} + \dfrac{8}{5}i$

Phương pháp 2: đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$

Phương pháp này có thể sử dụng với các phương trình có chứa nhiều ẩn như $z,\bar z,\left| z \right|$. Ta áp dụng lý thuyết hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 3: Tìm số phức $z$ biết $(2 – i)z – (5 + 3i)\overline z = – 17 + 16i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {2 – i} \right)\left( {a + bi} \right) – \left( {5 + 3i} \right)\left( {a – bi} \right) = – 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow 2a + 2bi – ai + b – 5a + 5bi – 3ai – 3b = – 17 + 16i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b – 5a – 3b = – 17\\2b – a + 5b – 3a = 16\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 3a – 2b = – 17\\- 4a + 7b = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.$

Vậy $z = 3 + 4i$.

Ví dụ 4: Tìm số phức $z$ biết $z.\overline z + \left( {z – \overline z } \right) = 4 – 2i$

Giải:

Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$. Ta được phương trình:

$\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) + \left( {a + bi – a + bi} \right) = 4 – 2i$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2bi = 4 – 2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4\\2b = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 1 = 4\\b = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \pm \sqrt 3 \\b = – 1\end{array} \right.$

Vậy $z = \sqrt 3 – i$ hoặc $z = \sqrt 3 + i$

Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức

Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:

Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

Ví dụ 5: Tìm số phức $z$ biết $\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2$ và $\left| z \right| = 2$.

Giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z^2} + \bar z} \right| = 2\\\left| z \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z^2} + \bar z} \right|.\left| z \right| = 4$

$ \Leftrightarrow \left| {{z^3} + {{\left| z \right|}^2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{z^3} + 4} \right| = 4$

Đặt $w = {z^3}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right.$

Đặt $w = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 4} \right| = 4\\\left| w \right| = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = 16\\{a^2} + {b^2} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 8\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy $w = – 8 \Leftrightarrow z^3 = – 8$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = – 2\\
z = 1 – \sqrt 3 i\\
z = 1 + \sqrt 3 i
\end{array} \right.$

Ví dụ 6: Tìm số phức $z$ biết $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i$.

Giải:

$\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} = \left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 – i$

$ \Rightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt {10} }}{z}} \right| = \left| {\left| z \right| + 2\left| z \right|i + 2 – i} \right|$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| – 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {{{\left| z \right|}^2} + 4\left| z \right| + 4 + 4{{\left| z \right|}^2} – 4\left| z \right| + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 10 = {\left| z \right|^2}\left( {5{{\left| z \right|}^2} + 5} \right) \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$

Thế lại ta được: $\dfrac{{\sqrt {10} }}{z} = 3 + i$$ \Leftrightarrow z = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}} – \dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}i$