Khái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất

Nguyên hàm – tích phân là một nội dung khó trong chương trình giải tích lớp 12. Để nắm vững được khái niệm nguyên hàm cũng như giải được bài tập, trước tiên cần phải nắm vững các quy tắc tìm đạo hàm và thuộc các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản.

Trong nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm nguyên hàm của hàm số và các phương pháp để tìm nguyên hàm.

Xem thêm: Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Khái niệm nguyên hàm của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng K. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu:

$F'(x) = f(x)$ $\forall x \in K$

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên K là$f(x) + C$ với $C \in R$. Ký hiệu:

$\int {f(x)dx} = F(x) + C$  ($C \in R$)

Ví dụ: Chúng ta biết rằng $\forall x \in R$ thì ${\left( {{x^2}} \right)’} = 2x$ nên $2x$ là một nguyên hàm của của ${{x^2}}$. Vì vậy ta có:

$\int {2xdx = {x^2} + C} $ ($C \in R$) $\forall x \in R$

Tương tự ta có:

$\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$ $\int {\dfrac{1}{x}dx = \ln x + C} $ ($C \in R$)

$\forall x \in \left( { – \infty ; + \infty } \right)$ $\int {\sin xdx = – \cos x + C} $ ($C \in R$)

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

1. $$\int {dx} = x + C$$

2. $$\int {{x^\alpha }dx} = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\,\,\,\left( {\alpha \ne 1} \right)$$

3. $$\int {\dfrac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)$$

4. $$\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$$

5. $$\int {{a^x}dx} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)$$

6. $$\int {\cos xdx} = \sin x + C$$

7. $$\int {\sin xdx} = – \cos x + C$$

8. $$\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C$$

9. $$\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = – \cot x + C$$

Tính chất của nguyên hàm

Từ khai niệm của nguyên hàm ta có thể suy ra một số tính chất sau:

1. $\int {f'(x)dx} = f(x) + C$

2. $\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} $

3. $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx} $

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4\cos x + \dfrac{5}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Giải

$\begin{array}{l}\int {\left( {4\cos x + \dfrac{5}{x}} \right)dx} = \int {4\cos xdx} + \int {\dfrac{5}{x}dx} \\= 4\int {\cos xdx} + 5\int {\dfrac{1}{x}dx = 4\sin x + 5\ln x + C}\end{array}$

Đến đây ta đã có thể hiểu được khái niệm nguyên hàm của một hàm số. Lưu ý thêm rằng mọi hàm số liên tục trên K đều có đạo hàm trên K. Trong bài sau ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp để tìm nguyên hàm của hàm số.

Xem thêm: Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số