Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Trong bài viết trước chúng ta đã biết cách tìm cực trị của một hàm số. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số cơ bản và nâng cao. Các bài tập này chủ yếu là tìm tham số m để hàm số có cực trị thảo mãn một yêu cầu nào đó. Ta thường gặp một số dạng như sau:

Xem lạiCác phương pháp tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm m để hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${x_0}$

Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau:

  • Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f”({x_0}) > 0\end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$.
  • Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f”({x_0}) < 0\end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số $y = {\textstyle{1 \over 3}}{x^3} + \left( {{m^2} – m + 2} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 1} \right)x + m – 5$  đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

$y’\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {{m^2} – m + 2} \right)x + 3{m^2} + 1 \Rightarrow y”\left( x \right) = 2x + 2\left( {{m^2} – m + 2} \right)$

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là $y’\left( { – 2} \right) = 0$:

$ \Leftrightarrow – {m^2} + 4m – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.$

Với $m = 3$ thì $y\left( { – 2} \right) = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = – 2$. Vậy  $m = 3$ thỏa yêu cầu

Với $m = 1$ thì $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x – 4$. Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên $m = 1$ không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Lưu ý: Với $m = 1$ thì $y\left( { – 2} \right) = 0$ nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên.

Dạng 2: Tìm m để hàm số $y = f(x)$ có cực trị hoặc không có cực trị.

Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính:

1. Hàm số bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {a \ne 0} \right)$

  • Hàm số không có cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép $ \Leftrightarrow $ $\Delta\le 0$.
  • Hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ $\Delta > 0$.

2. Hàm số bậc 4 trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\left( {a \ne 0} \right)$

  • Hàm số có 1 cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có một nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $ a.b$ \ge $0.
  • Hàm số có 3 cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có ba  nghiệm $ \Leftrightarrow $ a.b<0.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = {x^3} – 3(m + 1){x^2} + 9x – m$, với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6(m + 1)x + 9.$

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

$ \Leftrightarrow {x^2} – 2(m + 1)x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$ \Leftrightarrow \Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ; – 1 – \sqrt 3 } \right) \cup \left( { – 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f(x) = m{x^3} + 3m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x – 1$, m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số  không có cực trị.

Giải

Với m = 0 $\Rightarrow y = x – 1$ $\Rightarrow$ nên hàm số không có cực trị.

Với $m \ne 0 \Rightarrow y’ = 3m{x^2} + 6mx – \left( {m – 1} \right)$

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \Delta ‘ = 9{m^2} + 3m\left( {m – 1} \right) = 12{m^2} – 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}$

Vậy với $0 \le m \le \frac{1}{4}$ thì hàm số không có cực trị.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu.

Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số…

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = {x^4} – 2{m^2}{x^2} + 1\,\,\left( {{C_m}} \right)$.  Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: $y’ = 4{x^3} – 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} – {m^2}} \right)$

$y’ = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} – {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} (*)\end{array} \right.$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

$ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o $ \Leftrightarrow $ $m \ne 0$

Vậy với $m \ne 0$ thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với $m \ne 0$ thì $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = m \Rightarrow y = 1 – {m^4}\\x = – m \Rightarrow y = 1 – {m^4}\end{array} \right.$

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: $A\left( {0;1} \right);B\left( { – m;1 – {m^4}} \right);C\left( {m;1 – {m^4}} \right)$

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – m; – {m^4}} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {m; – {m^4}} \right)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow – {m^2} + {m^8} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(l)\\m = \pm 1\end{array} \right.$

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trên đây là ba dạng toán cực trị hàm số mà chúng ta thường gặp. Trong đó dạng 1 và 2 là các dạng cơ bản chúng ta phải nắm vững trước khi tìm hiểu đến dạng 3.

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Loading...

Có 84 trả lời

  1. Dao Linh says

    Em muon hoi, dang 1, dieu nguoc lai co dung ko?

  2. nguyễn nam says

    Cho em hỏi. Nếu trong đề có gặp dạng 1 thì mình trình bày dấu ngoặc nhọn rồi đưa 2 điều kiện y'(x)=0 và y”(x)>o vào trong dấu ngoặc nhọn đk ko ạ hay là phải trình bày riêng ra

    • Phải trình bày riêng nhé

      • Ngọc Hải says

        Sao thầy e dạy vẫn được đưa ra 2 đk bỏ trong ngoặc nhọn

        • Bạn xét hàm số \[y = {x^4}\] sẽ thấy hàm số đạt cực tiểu tại \[{x_0} = 0\] nhưng \[y\left( 0 \right) = 0\] mà không phải là \[y\left( 0 \right) > 0\]. Định lý chỉ có 1 chiều thôi, chiều ngược lại chưa chắc đúng.

  3. Thương says

    cho e hỏi, tại sao trong phương trình trùng phương mình lại xét a.b ?

  4. Đinh Thảo Chi says

    tìm tham số để hàm số có cực đại thỏa mãn yCĐ = số a cho trước thì làm thế nào ạ?

  5. Hosting Italia says

    “Bai toan nay kho ngay c? v?i nh?ng ngu?i l?n gi?i toan, vi v?y s? r?t kho cho h?c sinh l?p 3, va con thach th?c hon d?i v?i h?c sinh ? vung cao

  6. Phan Thị Kiều TRinh says

    Cho e hỏi. Để hàm số không có cực trị thì sao phải cần điều kiện y’ có nghiệm kép ạ. Và điều kiện này chỉ áp dụng khi y’ là hàm bậc hai thôi ạ???

    • y’ vô nghiệm hay nghiệp kép thì y’ đều không đổi dấu trên R nên không có cực trị và chỉ áp dụng cho hàm số bậc 3 bạn nhé

  7. Đỗ Bích Ngọc says

    Cho em hỏi ạ!
    Nếu bài toán xác định giá trị của m để hàm số có cực trị đối với hàm phân thức chứa ẩn m ở mẫu thì làm thế nào ạ?

  8. Bùi Thị Dung says

    Thầy giải giúp e bài này với ạ: y= x^4 – (m+3)x^2 +3x+4.
    Tìm m để hs có cực đại và cực tiểu.viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị này.

  9. Tố Uyên says

    Bạn ơi giúp mình bài này vs: tìm cực trị của hàm số sau theo dấu hiệu 1: y=x^3-x^2+x-5

  10. Tố Uyên says

    Mình giải y’ =0 vô nghiệm rồi lập bảg biến thiên k dc

    • Vô nghiệm thì y’ luôn cùng dấu với hệ số a. Bạn xem lại cách xét dấu tam thức bậc hai ở lớp 10 nhé.

  11. ngo hieu says

    giup em vs y=x^4-mx^2+n . tìm m n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x=1

    • Để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x=1 thì \[\left\{ \begin{array}{l}y(1) = 2\\y'(1) = 0\end{array} \right.\]

  12. Trần Tiên says

    Dạ ho em hỏi hs y=(m+1)x^4 +mx^2 – 1
    Tìm dk m để hs không coq cực trị

    • Bạn cần xét hai trường hợp \[m + 1 = 0\] và \[m + 1 \ne 0\], với \[m + 1 \ne 0\] khác 0 thì hàm số luôn có cực trị.

  13. Trang Nguyễn says

    Thầy cho e hỏi ạ :
    Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị:
    Y=(1-m)x^4 -mx^2 + 2m-1 .

    • Bạn xét hai trường hợp \[1 – m = 0\] và \[1 – m \ne 0\]. Khi \[1 – m \ne 0\] thì hàm số là hàm trùng phương có đúng 1 cực trị khi pt y’=0 có đúng 1 nghiệm.

  14. Lê Lâm Tùng says

    thầy giải giúp : cho hàm số y=x^3-3x^2-mx+2 . tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu cách đều đường thẳng (d):y=x-1 em cám ơn

    • \[y’ = 3{x^2} – 6x – m = 3{\left( {x – 1} \right)^2} – \left( {m + 3} \right)\]
      Hàm số này có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > – 3\]
      Đường thẳng (d’) đi qua hai điểm cực trị có phương trình: \[y = – \frac{2}{3}x + 2 – \frac{m}{3}\]
      Hoành độ giao điểm M của d và d’ là \[{x_M} = \frac{{9 – m}}{5}\]
      Các điểm cực đại cực tiểu cách đều đường thẳng (d):y=x-1 \[ \Rightarrow {x_{CD}} + {x_{CT}} = 2{x_M} \Leftrightarrow \frac{{9 – m}}{5} = 1 \Leftrightarrow m = 4\]

  15. Thầy cho em hỏi tìm m để x^4 + 8mx^3 + 3(2m+1)^2 – 4 có 1 cực tiểu

    • Không biết bạn gõ có nhầm đề không. Nếu không nhầm thì có thể giải như thế này.
      \[y = {x^4} + 8m{x^3} + 3{\left( {2m + 1} \right)^2} – 4\]
      \[y’ = 4{x^3} + 24m{x^2}\]
      \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 6m\end{array} \right.\]
      Bạn xét 3 trường hợp m = 0, m > 0 và m < 0, lập bảng biến thiên ở mỗi trường hợp để xem trường hợp nào thỏa mãn có 1 cực tiểu thì nhận m nhé.

  16. y=x^4-2mx^2+4m+1. tìm m để hàm số có giá trị CĐ =5 thầy giải dùm e với ạ

    • \[y’ = 4{x^3} – 4mx\]
      \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\]
      Nếu \[m \le 0\] thì pt chỉ có nghiệm x = 0, lập bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực đại nên loại.
      Nếu \[m > 0\] thì pt có ba nghiệm là \[x = 0,x = \sqrt m ,x = – \sqrt m \], lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt CĐ tại x = 0.
      \[{y_{CD}} = 5 \Leftrightarrow y\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow m = 1\]

  17. Tuyết Dung says

    bản chất của cực trị là gì vậy th?
    tại sao th có thể biết và tìm ra các đk ở trên???

  18. thầy ơi giúp e với
    y=2x^3 -3(m+1)x^2+6mx có 2 điêm cực trị là A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thảng
    d: y=x+2

    • Để hàm số có hai cực trị thì pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt => tìm m thuộc một khoảng.
      Viết pt đường thẳng d’ đi qua hai điểm cực trị. d’ vuông góc với d thì tích hai hệ số góc bằng -1 => tìm được m.

  19. nguyễn đình bảo khánh says

    cho em hỏi tại sao không cần xét denta >0 vậy. vì nó cũng có thể là nghiệm duy nhất mà

  20. Tôn hoàng đô says

    Thầy cho em hỏi, ở bài trên kết luận là Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. là sao ạ,

  21. Bảo Ngọc says

    thế nếu bài toán là tìm m để hs có cực trị trong khoảng từ âm vô cùng đến 1 thì làm tn ạ

  22. cho e hỏi nếu tìm m để hso có CD CT nằm về 2 phía đối với trục tung thì lm sao ak

  23. thu hà says

    hàm số chỉ đạt cực đại mà ko có cực tiểu thì sao ạ và ngược lại có cực tiểu mà không có cực đại nữa ạ?

  24. Nguyễn Thu Phương says

    cho em hỏi là tìm điều kiện để hàm số có cực trị khác với tìm đk để hàm số có CĐ, CT ntn ạ

  25. hoàng hà thu says

    vậy tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho điểm cực tiểu đạt giá trị lớn nhất thì làm như thế nào ạ?

  26. Thnah Nhàn says

    thầy cho em hỏi bài ni với: định m để hs đạt CĐ,CT tại các điểm có hoành độ lớn hơn m

  27. Lý Giang says

    Không hiểu bạn đưa ra định lí làm chi mà không sử dụng nó. Còn chế cách làm nữa !!

  28. Tiên Lê says

    Cho em hỏi cách làm của bài này sao ạ? Cho hàm số y= 2/3 x^3 + ( m + 1) x^2 + ( m^2 + 4m + 3) có cực trị là x1, x2. Giá trị lớn nhất của biểu thức A= | x1*x2 – 2(x1 + x2) | bằng

  29. Hoang Van Cuong says

    không có hàm phân thức à

  30. Trần mai yến says

    Thầy cho e hoi nêu viêt ptđt đi qua 2 điểm cực trị cua hàm số mà có chứa tham số m thi lam tnào?

  31. khanhlinh says

    tìm dc x1 x2=-4m; x1x2=3m sao cho thoả x1^2-x2=10
    làm sao ra dc m nữa ạ. e bó tay r.

  32. hàm số y=(mx-2)/(x+m-3) nghịch biến trên từng khoảng xác định với m
    thầy giải giúp em ạk ><

  33. Thầy giải dùm e bài này vs :
    Cho hs y=x³-3x²+2. Xác định m để CĐ CT của đths ở 2 phia đg trìn x²+y²-2mx -4my+ 5m²-1

  34. Vũ tú quyên says

    Thầy giúp e nhé y= x^3 – 3x^2 + mx đạt cực tiểu tại x=2

    • Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì \[y’\left( 2 \right) = 0\]. Bạn giải phương trình đó để tìm m. Có m thì thế vào lại lập bảng biến thiên để kiểm tra xem có thỏa hay không nhé.

  35. lê văn hoàng says

    cho em hỏi điều kiện để hàm số có hai cực tiểu và một cực đại là j ?

    • Nếu bạn đang nói đến hàm trùng phương \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\] thì điều kiện là \[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b < 0\end{array} \right.\]

  36. thầy hướng dẫn e bài này với ạ
    Cho hàm số y = 2x^3 + 3(m-1)x^2 + 6(m-2)x -1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1;x2 mà: I x1 – x2 I = 1

    • \[\begin{array}{l}y = 2{x^3} + 3\left( {m – 1} \right){x^2} + 6\left( {m – 2} \right)x – 1\\y’ = 6{x^2} + 6\left( {m – 1} \right)x + 6\left( {m – 2} \right)\\y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 1} \right)x + m – 2 = 0\end{array}\]
      Để hàm số có cực đại và cực tiểu tại \[{{x_1}}\] và \[{{x_2}}\] thỏa \[\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 1\] thì phương trình \[y’ = 0\] phải có hai nghiệm \[{{x_1}}\] và \[{{x_2}}\] thỏa \[\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 1\]
      Mà \[\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1\]
      Vậy điều kiện của chúng ta là phương trình \[y’ = 0\] phải có: \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{S^2} – 4P = 1\end{array} \right.\]

  37. Nguyễn Thế Anh says

    Thầy ơi vì sao hàm số không có 2 điểm cực trị ak

  38. hàm số không có CĐ khi nào . ko có Cực tiểu khi nào . mong thầy tl som

  39. Cho em hỏi về cách giải của dạng Hàm số bậc 4 trùng phương, phương trình y′=0 có một nghiệm duy nhất ⇔ a.b>0 là mình lấy a,b của phương trình tổng quát bậc 4 hả thầy? Mình không dùng gì đến y’ hay sao thầy. Em cám ơn

  40. điều kiện để cực trị hàm bậc 3 thuộc Ox hoặc Oy là gì thế ạ?

    • Cực trị thuộc trục Oy thì khá đơn giản, chỉ cần hệ số c bằng 0. Còn cực trị thuộc trục Ox thì phức tạp hơn, bạn cần tính \[{y_{CD}},{y_{CT}}\] theo tham số rồi dùng \[{y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\] để tìm m.

  41. -2x +2 + m√(x2 -4x +5) Tìm m để cực trị của hàm số là cực đại (thầy giải giúp e vs)

  42. Bảo Trân says

    Chỉ giúp em bài này với ạ
    Y= ax^3 + bx^2 + cx +d biết hàm số đạt cực tiểu bằng 0 tại x=0 và đạt cực đại bằng 4/27 tại x=1/3.
    Em bí quá r. Em cảm ơn trước ạ

    • Bạn có thể giải hệ phương trình bao gồm các phương trình y'(0)=0, y'(1/3)=0, y(0)=0, y(1/3)=4/27 để tìm các hệ số a, b, c, d.

  43. thưa thầy, điều kiện hso có CĐ , CT nằm về 2 phía trục hoành là gì vậy ạ ?

  44. Huyền says

    Thầy ơi cho em hỏi bài này ạ: tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=mx^4+(m^2-2)^2+2 có 2 cực tiểu và1 cực đại

    • Hình như đề bài phải là y=mx^4+(m^2-2)x^2+2. Nếu vậy thì điều kiện là m > 0 và (m^2-2)<0. Nghĩa là a, b trái dấu để hàm số có ba cực trị và a > 0 để có 2 cực tiểu và 1 cực đại.

  45. Xuân thy says

    Dạ thầy giúp em bài này với
    Tìm m để y=(m/3)x^3+2x^2+mx+1 có 2 điểm cực trị thoã mãn xCĐ < xCT

  46. Hoàng thị phương ly says

    Thầy giải bài này giúp e với

    Tìm m để y= (m+2)x^3 +3x^2+mx-5 có cực đại cực tiểu

    • Để hàm số có 2 cực trị thì nó phải là hàm bậc 3 => hệ số a phải khác 0.
      Hàm bâc 3 có cực đại và cực tiểu nghĩa là có 2 cực trị khi phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt.

  47. tính deltal là thấy ở y hay y’ vậy ạ

  48. Hà Chi says

    Nếu là tìm giá trị m để đt có 2 điểm cực nằm bên phải Oy thì làm ntn ạ

    • Hai cực trị nằm bên phải trục oy nghĩa là phương trình y’=0 có hai nghiệm dương phân biệt

  49. Hà Chi says

    Nếu là ” tìm m để hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x1, x2 sao cho x1.x2<0″ thì làm sao ạ

    • x1.x2<0 nghĩa là phương trình y'=0 có hai nghiệm trái dấu, mà phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \[a.c < 0\]

Ý kiến bạn đọc

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.