Trong chương trình Toán 11, chúng ta đã được học về khái niệm đạo hàm của một hàm số. Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu về khái niệm nguyên hàm – một khái niệm có liên quan mật thiết với đạo hàm, có thể coi là phép toán ngược của phép toán lấy đạo hàm. Ta sẽ nghiên cứu các tính chất của nguyên hàm và vận dụng để tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $K$.
2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
- $\int 0 dx = C$
- $\int 1 dx = x + C$
- $\int x^\alpha dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C (\alpha \ne -1)$
b) Nguyên hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{x}$
$\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
c) Nguyên hàm của hàm số mũ
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C (a > 0, a \ne 1)$
d) Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \dfrac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$
- $\int \dfrac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Cho $k$ là số thực khác $0$, $f(x)$, $g(x)$ là các hàm số liên tục trên $K$. Khi đó
a) Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
$\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
b) Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
- $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
- $\int [f(x) – g(x)] dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx$
Bài tập
Tìm các nguyên hàm sau:
1. $\int (2x^3 + 5x) dx$
2. $\int \dfrac{1}{2} x^5 dx$
3. $\int (\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}) dx$
4. $\int \dfrac{1}{x^4} dx$
5. $\int (6^x – 2\sin\dfrac{x}{2}) dx$
Lời giải
1. $\int (2x^3 + 5x) dx = 2\int x^3 dx + 5\int x dx = 2 \dfrac{x^4}{4} + 5 \dfrac{x^2}{2} + C = \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{5x^2}{2} + C$
2. $\int \dfrac{1}{2} x^5 dx = \dfrac{1}{2} \int x^5 dx = \dfrac{1}{2} \dfrac{x^6}{6} + C = \dfrac{x^6}{12} + C$
3. $\int (\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}) dx = \int x^\frac{1}{2} dx + \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \dfrac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + \dfrac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \dfrac{2}{3} x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$
4. $\int \dfrac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \dfrac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = -\dfrac{1}{3x^3} + C$
5. $\int (6^x – 2\sin\dfrac{x}{2}) dx = \int 6^x dx – 2 \int \sin\dfrac{x}{2} dx = \dfrac{6^x}{\ln 6} + 4 \cos\dfrac{x}{2} + C$
Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong Toán học. Nó có liên hệ mật thiết với đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức về nguyên hàm sẽ giúp bạn rất nhiều trong quá trình học Toán.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:
1. Fanpage: Toán phổ thông
2. Email: admin@toanpt.com
Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!
Để lại nhận xét