Phương pháp tính tích phân – phương pháp đổi biến

Trong bài viết các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số ta đã biết đến phương pháp đổi biến và phương pháp nguyên hàm từng phần. Bây giờ ta xét đến bài toán tính tích phân thì thực chất củng chỉ là tìm nguyên hàm rồi bổ xung thêm hai cận a và b. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp đổi biến để tính tích phân. Ta có thể chia phương pháp đổi biến ra là hai loại:

• Loại 1: Đặt $t = u\left( x \right)$
• Loại 2: Đặt $x = u\left( t \right)$

Xem thêm: 

1. Khái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất
2. Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
3. Định nghĩa tích phân và các tính chất của tích phân

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}xdx} $

Phân tích: Ta thấy có thể viết lại: $I = \int\limits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}xdx} = \int\limits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}\dfrac{1}{2}.2xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}.2xdx} $

Trong đó ${2x}$ là đạo hàm của ${{x^2}+1}$ nên ta có thể đặt $t = {x^2}+1$.

Giải

Đặt $t = {x^2}+1 \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận:

$ \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {{e^t}dt} = \dfrac{1}{2}{e^t}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} – e} \right)$

b) $J = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx} $

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2} = {t^2} – 1 \Rightarrow xdx = tdt$

Đổi cận:

$ \Rightarrow $$J = \int\limits_0^1 {{x^2}.\sqrt {{x^2} + 1} .xdx} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} – 1} \right).t.tdt} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^4} – {t^2}} \right)dt} $

$ = \left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} – \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}\sqrt 2 \\1\end{array} \right. = \dfrac{{2\sqrt 2 + 2}}{{15}}$

Một số bài tập áp dụng

1) J₁ =  $$\int\limits_1^2 {x{e^{{x^2}}}dx} $$                          2) J₂ = $$\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + \ln x} }}{x}dx} $$

3) J₃ = $$\int\limits_0^1 {{x^3}{{({x^4} – 1)}^5}dx} $$             4) J₄ = $$\int\limits_0^2 {\sqrt {4 – {x^2}} .xdx} $$

5) J₅ = $$\int\limits_0^{\pi /2} {\dfrac{{\cos x}}{{{{(1 + \sin x)}^4}}}dx} $$

Ví dụ 3: Tình các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_0^2 {\sqrt {4 – {x^2}} dx} $

Giải

Đặt $x = 2\sin t$  ($ – \dfrac{\pi }{2} \le t \le \dfrac{\pi }{2}$)

$ \Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận:

$ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} .2\cos tdt} =\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {4\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right)} .2\cos tdt} $

$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos tdt} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {4{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {2\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} $

$ = 2\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \pi $

b) $J = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}}dx} $

Giải

Đặt $x = \tan t \Rightarrow dx = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt$   ($ – \dfrac{\pi }{2} \le t \le \dfrac{\pi }{2}$)

Đổi cận:

$ \Rightarrow J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan tdt} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin t}}{{\cos t}}dt} $

$ = – \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {\cos t} \right)’}}{{\cos t}}dt} = – \ln \left( {\cos t}\right)\left| \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = – \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Một số bài tập áp dụng:

1) $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} $$          2) $$\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {2 – {x^2}} dx} $$                   3) $$\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} – 1} }}} $$

4) $$\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}} $$             5) $\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {9 + 3{x^2}} dx}}{{{x^2}}}} $

Trên đây là phương pháp đổi biến để tính tích phân bao gồm đổi biến loại 1 và đổi biến loại 2. Trong đó phương pháp đổi biến loại 1 thường khó hơn vì chúng ta không có dạng chung để biết đặt t như thế nào cho đúng. Để có thể thành thạo dạng toán này cần phải làm nhiều bài tập để rút ra kinh nghiệm cho mình.

Trong bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp thứ 2 để tính tích phân là phương pháp tích phân từng phần.