Phương trình mặt phẳng – tóm tăt lý thuyết và bài tập minh họa

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ $\vec n$ khác $\vec 0$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của n vuông góc với (α).
• Hai vectơ $\vec a$, $\vec b$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (α) thì $\vec a$, $\vec b$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (α).
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

Ví dụ:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB} = (-1; 2; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 3)$.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABC) nên là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: $\vec n = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (6; 3; 2)$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
• Mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec n = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến.
• Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (A; B; C)$ là $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ hay $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = -Ax_0 – By_0 – Cz_0$.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2; 1; -1)$.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) là: $2(x-1) + 1(y-2) – 1(z-3) = 0$ hay $2x + y – z -1= 0$.

3. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

• Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:
  • Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.
  • Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec n = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$.
  • Viết phương trình (α) đi qua một trong ba điểm A, B, C và có vectơ pháp tuyến $\vec n $.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB} = (-1; 2; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 3)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\vec n = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (6; 3; 2)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (6; 3; 2)$ là: $6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0$ hay $6x + 3y + 2z – 6 = 0$.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

• Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(α_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n _1 = (A_1; B_1; C_1)$, $\vec n _2 = (A_2; B_2; C_2)$. Khi đó:
  • $(α_1) // (α_2) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec n _1 = k \vec n _2 \\ D_1 \neq k D_2 \end{cases} (k \in R)$.
  • $(α_1) \equiv (α_2) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec n _1 = k \vec n _2 \\ D_1 = k D_2 \end{cases} (k \in R)$.
  • $(α_1)$ cắt $(α_2) \Leftrightarrow \vec n _1$ và $\vec n _2$ không cùng phương.
  • $(α_1) \perp (α_2) \Leftrightarrow \vec n _1 . \vec n _2 = 0 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Ví dụ:

Cho hai mặt phẳng $(P): 2x + y – z + 1 = 0$ và $(Q): 4x + 2y – 2z + 5 = 0$. Xét vị trí tương đối của (P) và (Q).

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec n _1 = (2; 1; -1)$, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec n _2 = (4; 2; -2)$.

Ta có $\vec n _2 = 2\vec n _1$ và $5 \neq 2.1$. Vậy (P) // (Q).

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:
  $$d(M_0, (α)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Ví dụ:

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P): $2x – y + 2z – 1 = 0$.

Lời giải:

$d(M, (P)) = \dfrac{|2.1 – 2 + 2.3 – 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \dfrac{5}{3}$.