Tích phân: khái niệm và các tính chất của tích phân

Trong bài này, chúng ta sẽ tóm tắt khái niệm và các tính chất của tích phân. Đây là một khái niệm quan trọng trong giải tích, có liên hệ mật thiết với nguyên hàm và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1. Tính: $I=\int_{1}^{2}(x^2+x+1)dx$.

Lời giải:

$I=\int_{1}^{2}(x^2+x+1)dx = \int_{1}^{2}x^2dx + \int_{1}^{2}xdx + \int_{1}^{2}dx$

$= \dfrac{x^3}{3}|_{1}^{2} + \dfrac{x^2}{2}|_{1}^{2} + x|_{1}^{2} = \dfrac{7}{3} + \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{29}{6}$.

Bài 2. Tính: $I=\int_{0}^{1}(2e^x + \dfrac{1}{x+1})dx$.

Lời giải:

$I=\int_{0}^{1}(2e^x + \dfrac{1}{x+1})dx = 2\int_{0}^{1}e^xdx + \int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x+1}$

$= 2e^x|_{0}^{1} + ln|x+1||_{0}^{1} = 2(e-1) + ln2$.

Bài 3. Tính: $I=\int_{0}^{\pi}sin2xdx$.

Lời giải:

$I=\int_{0}^{\pi}sin2xdx = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}sin2xd(2x) = -\dfrac{1}{2}cos2x|_{0}^{\pi}$

$= -\dfrac{1}{2}(cos2\pi – cos0) = 0$.

Bài 4. Tính: $I=\int_{-2}^{2}|x^2-1|dx$.

Lời giải:

Để tính tích phân này, ta cần xét dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là $x^2 – 1$.

Ta có $x^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Xét dấu của $x^2 – 1$:
– Khi $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, thì $x^2 – 1 > 0$, do đó $|x^2 – 1| = x^2 – 1$.
– Khi $x \in (-1, 1)$, thì $x^2 – 1 < 0$, do đó $|x^2 – 1| = -(x^2 – 1) = 1 – x^2$.

Dựa vào đó, ta chia tích phân thành các khoảng tương ứng:

$I = \int_{-2}^{-1} |x^2 – 1| dx + \int_{-1}^{1} |x^2 – 1| dx + \int_{1}^{2} |x^2 – 1| dx$

$I = \int_{-2}^{-1} (x^2 – 1) dx + \int_{-1}^{1} (1 – x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2 – 1) dx$

Tính từng tích phân:

1. $\int_{-2}^{-1} (x^2 – 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} – x \right]_{-2}^{-1} = \left( \frac{(-1)^3}{3} – (-1) \right) – \left( \frac{(-2)^3}{3} – (-2) \right)$
$= \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) – \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) = \frac{2}{3} – \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

2. $\int_{-1}^{1} (1 – x^2) dx = \left[ x – \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 – \frac{1^3}{3} \right) – \left( -1 – \frac{(-1)^3}{3} \right)$
$= \left( 1 – \frac{1}{3} \right) – \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} – \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. $\int_{1}^{2} (x^2 – 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} – x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} – 2 \right) – \left( \frac{1^3}{3} – 1 \right)$
$= \left( \frac{8}{3} – 2 \right) – \left( \frac{1}{3} – 1 \right) = \frac{2}{3} – \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Cuối cùng, cộng các kết quả lại:

$I = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Vậy $I = 4$.

Bài 5. Tính: $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2xdx$.

Lời giải:

Lời giải:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+cos2x}{2}dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{2} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{cos2x}{2}dx$

$= \dfrac{x}{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{1}{4}sin2x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\dfrac{\pi}{4}$.

Bài 6. Một chiếc xe chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = 3t^2 + 2t$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian từ $t = 1$ giây đến $t = 3$ giây.

Lời giải:

Quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ được tính bằng tích phân xác định của vận tốc theo thời gian trong khoảng đó:

$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Trong bài toán này, ta có $v(t) = 3t^2 + 2t$, $t_1 = 1$ và $t_2 = 3$. Thay thế các giá trị vào công thức, ta được:

$S = \int_{1}^{3} (3t^2 + 2t) dt$

Để tính tích phân này, ta tìm nguyên hàm của $3t^2 + 2t$:

$\int (3t^2 + 2t) dt = t^3 + t^2 + C$

Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính tích phân xác định:

$S = [t^3 + t^2]_{1}^{3} = (3^3 + 3^2) – (1^3 + 1^2)$

$S = (27 + 9) – (1 + 1)$

$S = 36 – 2$

$S = 34$

Vậy quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian từ $t = 1$ giây đến $t = 3$ giây là 34 mét.

Bài 7. Một vật bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ với gia tốc $a(t) = 4t – 1$ (m/s$^2$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 5$ giây.

Lời giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ được tính bằng tích phân của gia tốc theo thời gian từ thời điểm ban đầu đến thời điểm $t$. Vì vật bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ, vận tốc ban đầu $v(0) = 0$. Ta có:

$v(t) = v(0) + \int_{0}^{t} a(\tau) d\tau$

Trong bài toán này, ta có $a(t) = 4t – 1$ và chúng ta muốn tìm vận tốc tại $t = 5$ giây. Thay thế các giá trị vào công thức, ta được:

$v(5) = 0 + \int_{0}^{5} (4\tau – 1) d\tau$

Để tính tích phân này, ta tìm nguyên hàm của $4\tau – 1$:

$\int (4\tau – 1) d\tau = 2\tau^2 – \tau + C$

Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính tích phân xác định:

$v(5) = [2\tau^2 – \tau]_{0}^{5} = (2 \cdot 5^2 – 5) – (2 \cdot 0^2 – 0)$

$v(5) = (2 \cdot 25 – 5) – (0 – 0)$

$v(5) = (50 – 5) – 0$

$v(5) = 45$

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t = 5$ giây là 45 m/s.

Tích phân là một khái niệm quan trọng trong giải tích, có liên hệ mật thiết với nguyên hàm. Hy vọng bài tóm tắt trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tích phân và các tính chất của nó.