Lý thuyết và bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận của đồ thị hàm số trước đây là một phần nhỏ trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và ta thường không chú ý nhiều đến nó. Tuy nhiên với toán trắc nghiệm thì tiệm cận là bài toán rất thường hay gặp. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số và một số dạng bài tập liên quan.

Khái niệm tiệm cận

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \pm \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = \pm \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f$.

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ thì đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f$.

Các chú ý

1. Hàm đa thức không có tiệm cận.

2. Hàm số nhất biến $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (với đk: $ad – bc \ne 0$) có:

• Tiệm cận đứng: $x = – \dfrac{d}{c}$
• Tiệm cận ngang: $y = \dfrac{a}{c}$

3. Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, ta chỉ cần áp dụng khái niệm.

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x – 3}}{{x + 4}}$.

Hướng dẫn: 

Đây là hàm nhất biến nên theo chú ý trên ta có ngay tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình $x = – 4$ và tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình: $y = 2$.

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}$.

Hướng dẫn:

Hàm số xác định với mọi $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = – \infty $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = 1$

$ \Rightarrow $ Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số $y = \dfrac{{mx + 2}}{{ – 5x + 3}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 10$.

Hướng dẫn: 

Để hàm số nhận đường thẳng $y = 10$ làm tiệm cận ngang thì $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{ – 5}} = 2\\m.3 – 2.( – 5) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = – 10$

BÀI TẬP TIỆM CẬN

Tải bài tập tiệm cận file PDF bằng link dưới đây: