Tìm tham số $m$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$

Ta biết rằng nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ và đạt cực trị tại ${x_0}$ thì $f’\left( {{x_0}} \right) = 0$. Từ nhận xét này, ta có thể đưa ra các bước để giải bài toán tìm tham số $m$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$.

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tìm $y’$.

Bước 3. Giải phương trình $y’\left( {{x_0}} \right) = 0$ để tìm tham số $m$.

Bước 4. Thử lại giá trị $m$ tìm được bằng cách lập bảng biến thiên hoặc dùng $y”$.

Ví dụ. Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 2m{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\)

A. Không tồn tại \(m\).             B. \(m = \pm 1\).         C. \(m = 1\).               D. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Lời giải

Để \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số thì \(y’\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1.\)

Thử lại với \(m = 1,\) ta có \(y’ = 3{x^2} – 4x + 1\).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.

Lưu ý: Đối với hàm số đa thức bậc 3, ta có thể sử dụng phương pháp sau:

$f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_0}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\
f”\left( {{x_0}} \right) < 0
\end{array} \right.$.

$f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${x_0}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\
f”\left( {{x_0}} \right) > 0
\end{array} \right.$.

Ví dụ: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4} \right)x + 3$ đạt cực đại tại$x = 3$.

A. \(m = – 1\)               B. \(m =  – 7\)               C. \(m = 5\)                   D. \(m = 1\)

Lời giải

Ta có $y’ = {x^2} – 2mx + \left( {{m^2} – 4} \right)$; $y” = 2x – 2m$.

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4} \right)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$ khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}y’\left( 3 \right) = 0\\y”\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 – 6m + {m^2} – 4 = 0\\6 – 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 6m + 5 = 0\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5$.

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.