Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phức

Số phức là chương cuối cùng trong chương trình giải tích lớp 12. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học trong những năm qua. Nội dung chương này khá đơn giản và câu số phức trong các đề thi thường là câu dễ đối với học sinh. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa, một số khái niệm liên quan đến số phức và một số bài tập số phức đơn giản.

Xem thêm: tài liệu chuyên đề số phức

Định nghĩa số phức

– Mỗi biểu thức dạng $$a + bi\;(a,b \in R)$$ được gọi là một số phức, trong đó:

+ a là phần thực.

+ b là phần ảo.

+ i là đơn vị ảo và i² = -1.

– Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

– Mỗi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0.

– Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.

Các khái niệm liên quan số phức

1) Số phức bằng nhau: Cho hai số phức $${z_1} = {a_1} + {b_1}i;\quad {z_2} = {a_2} + {b_2}i$$. Ta có:

$${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.$$ (phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)

2) Môđun của số phức: Cho số phức $$z = a + bi$$. Môđun của số phức z, kí hiệu là $$\left| z \right|$$ và tính bởi công thức: $$\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $$

3) Số phức liên hợp: Cho số phức $$z = a + bi$$. Số phức liên hợp của số phức z là $$\overline z = a – bi$$.

4) Biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a;b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

– Trục Ox: trục thực

– Trục Oy: trục ảo

Phương pháp giải phương trình trong tập số phức

– Nếu trong phương trình chỉ chứa z hoặc $$\overline z $$ thì ta biến đổi z hoặc $$\overline z $$ về một vế và rút gọn.

– Nếu trong phương trình chứa z, $$\overline z $$, z², … thì ta đặt $$z = x + yi\;(x,y \in R)$$.

– Nếu là phương trình bậc hai thì ta xét $$\Delta = {b^2} – 4ac$$.

* Nếu $$\Delta$$ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) $$x = – \dfrac{b}{{2a}}.$$

* Nếu $$\Delta$$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm (thực) phân biệt $$\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\\{z_2} = \dfrac{{ – b – \sqrt \Delta  }}{{2a}}\end{array} \right.$$

* Nếu $$\Delta$$ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $$\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ – b + i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\\{z_2} = \dfrac{{ – b – i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\end{array} \right.$$

– Nếu là phương trình bậc ba thì ta chia Hoocner.

– Nếu là phương trình bậc bốn trùng phương thì ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn số là z².

Chú ý: Mọi phương trình bậc trình bậc n (n $$ \ge $$ 1) đều có đúng n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt. Đây là định lý cơ bản của Đại số học.

Xem thêm: tài liệu chuyên đề số phức

Bài tập số phức