Vị trí tương đối trong không gian: đường thẳng, mặt phẳng

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu về vị trí tương đối giữa hai đối tượng trong không gian là đường thẳng và mặt phẳng khi biết phương trình của chúng.

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng $(P):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và $(Q):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$. Xét vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Để giải bài toán này, ta gọi ${{\vec n}_1} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$ là vectơ pháp tuyến của (P), ${{\vec n}_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: nếu ${{\vec n}_1}$ và ${{\vec n}_2}$ cùng phương thì (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau.

Trường hợp 2: Nếu ${{\vec n}_1}$ và ${{\vec n}_2}$  không cùng phương thì (P) và (Q) cắt nhau.

Lưu ý: 

– Trong trường hợp ${{A_2};{B_2};{C_2}}$ đều khác $0$, ta có thể xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng bằng cách xét tỉ lệ:

+ Nếu $\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$ thì (P) và (Q) trùng nhau.

+ Nếu $\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$ thì (P) và (Q) song song.

+ Nếu $\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ hoặc $\dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ thì (P) và (Q) cắt nhau.

– $(P) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1}.{{\vec n}_2} = 0$

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $(P):2x – 3y – 14z – 2 = 0$ và $(Q): – x + \dfrac{3}{2}y + 7z + 1 = 0$.

Giải

Ta có: $\dfrac{2}{{ – 1}} = \dfrac{{ – 3}}{{3/2}} = \dfrac{{ – 14}}{7} \ne \dfrac{{ – 2}}{{ – 1}} \Rightarrow $ (P) và (Q) song song.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $(P):-3x + 2z = 0$ và $(Q): 9x + 3y -6z + 1 = 0$.

Giải

VTPT của (P) là ${\vec n_1} = \left( { – 3;0;2} \right)$

VTPT của (Q) là ${\vec n_2} = \left( { 9;3;-6} \right)$

Ta thấy ${\vec n_1}$ và ${\vec n_2}$ không cùng phương nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)$ và mặt phẳng $(P):Ax + By + Cz + D = 0$. Xét vị trí tương đối giữa d và (P).

Để giải bài toán này, ta xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)$

Trường hợp 1: Hệ (*) có 1 nghiệm duy nhất $ \Rightarrow $ d và (P) cắt nhau, nghiệm (x, y, z) của hệ (*) là tọa độ của giao điểm.

Trường hợp 2: Hệ (*) vô nghiệm $ \Rightarrow $ d và (P) song song.

Trường hợp 3: Hệ (*) vô số nghiệm $ \Rightarrow $ d nằm trong mặt phẳng (P).

Lưu ý: Với ${{\vec u}_d}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và ${{\vec n}_p}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:

+ $d//(P)$ hoặc $d \subset (P)$ khi và chỉ khi ${{\vec u}_d} \bot {{\vec n}_p} \Leftrightarrow {{\vec u}_d}.{{\vec n}_p} = 0$.

+ $d \bot (P)$ khi và chỉ khi ${{\vec u}_d}$ và ${{\vec n}_p}$ cùng phương.

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = – 2 – 3t\\z = – 2t
\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P):x – 3y + z – 1 = 0$. Tìm tọa độ giao điểm nếu có.

Giải

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\
y = – 2 – 3t\\
z = – 2t\\
x – 3y + z – 1 = 0
\end{array} \right.$ (*)

$\begin{array}{l}
\Rightarrow 3 + t – 3( – 2 – 3t) – 2t – 1 = 0\\
\Leftrightarrow t = – 1
\end{array}$

Vậy hệ (*) có nghiệm duy nhất nên d và (P) cắt nhau.

Với $t = – 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1\\
z = 2
\end{array} \right.$ nên tọa độ giao điểm của d và (P) là $\left( {2;1;2} \right)$.

Ví dụ 4: Tim m, n để đường thẳng $d:\dfrac{{x – 1}}{2} = \dfrac{y}{{ m}} = \dfrac{{z + 2}}{4-n}$ và  mặt phẳng $(P): – 2x + y – 2z – 2 = 0$ vuông góc.

Giải

VTCP của d là: ${{\vec u}_d} = \left( {2;m;4 – n} \right)$.

VTPT của (P) là: ${{\vec n}_p} = \left( { – 2;1; – 2} \right)$

Để $d \bot (P)$ khi và chỉ khi ${{\vec u}_d}$ và ${{\vec n}_p}$ cùng phương.

$ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{ – 2}} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{{4 – n}}{{ – 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = – 1\\
n = 2
\end{array} \right.$

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét bài toán:

Cho hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right.$ có VTCP là $\overrightarrow u = (a;b;c)$ và ${\Delta’}:\left\{ \begin{array}{l}
x = x_0′ + {a’}{t’}\\
y = y_0′ + {b’}{t’}\\
z = z_0′ + {c’}{t’}
\end{array} \right.$ có VTCP là $\overrightarrow {u’}= (a’;b’;c’)$. Xét vị trí giữa ${\Delta}$ và ${\Delta ‘}$

Trường hợp 1: $\,\overrightarrow u $ và $\,\overrightarrow {u’} $ cùng phương: Lấy điểm $M({x_0};{y_0};{z_0}) \in \Delta $, kiểm tra:

+ Nếu $M \in \Delta’ $ thì $\Delta $ và $\Delta’ $ trùng nhau.

+ Nếu $M \notin \Delta’ $ thì $\Delta $ và $\Delta’ $ song song.

Trường hợp 2: $\,\overrightarrow u $ và $\,\overrightarrow {u’} $ không cùng phương: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + at = x_0′ + {a’}{t’}\\
{y_0} + bt = y_0′ + {b’}{t’}\\
{z_0} + ct = z_0′ + {c’}{t’}
\end{array} \right.\,\,\,(I)$

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm thì $\Delta $ và $\Delta’ $ chéo nhau.

+ Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì $\Delta $ và $\Delta’ $ cắt nhau.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = t\\
z = t
\end{array} \right.$ và ${d_2}:\dfrac{{x – 2}}{2} = \dfrac{{y – 1}}{1} = \dfrac{z}{2}$.

Giải

VTCP của ${d_1}$ ${{\vec u}_1} = \left( {1;1;1} \right)$.

VTCP của ${d_2}$ ${{\vec u}_2} = \left( {2;1;2} \right)$.

${{\vec u}_1}$ và ${{\vec u}_2}$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
2 + 2t’ = 3 + t\\
1 + t’ = t\\
2t’ = t
\end{array} \right.$ (I)

Hệ (I) vô nghiệm nên ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.