[thủ thuật casio] Tìm khoảng đơn điệu của hàm số bằng máy tính Casio

Để hiểu được cách sử dụng máy tính Casio để tìm khoảng đơn điệu của hàm số, ta cần nắm vững định nghĩa và định lý dưới đây:

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một miền D.

f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$

f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D:{{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ thì $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$

Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f(x) cùng tăng, cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và ngược lại.

Định lý

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K.$

Nếu $f'(x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$.

Nếu $f'(x) \le 0,{\rm{ }}\forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$.

Từ định nghĩa và định lý này, ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm khoảng đơn điệu của hàm số bằng nhiều cách khác nhau như sử dụng chức năng TABLE để lập bảng giá trị, chức năng giải bất phương trình, chức năng tính đạo hàm của máy.

Ví dụ 1. Hàm số \(y = 2{x^4} + 1\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)\).                B. \(\left( {0; + \infty } \right)\).
C. \(\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).               D. \(\left( { – \infty ;0} \right).\)
 Cách 1 : CASIO LẬP BẢNG GIÁ TRỊ
 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 (MENU 8 với CASIO 580VN) với thiết lập Start \( – 10\), End \( – \frac{1}{2}\) , Step \(0.5\)

Ta thấy ngay khi \(x\) càng tăng thì \(f\left( x \right)\) càng giảm \( \Rightarrow \) Đáp án A sai.
 Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start \(0\), End \(10\), Step \(0.5\)

Ta thấy khi \(x\) càng tăng thì tương ứng \(f\left( x \right)\) càng tăng \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
Hoặc có thể lập bảng giá trị cho đạo hàm, nếu thấy khoảng nào đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến, khoảng nào đạo hàm dương thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
 Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM (chỉ sử dụng được với máy CASIO FX580VN trở lên)

Bấm calc, thử các giá trị x trong các đáp án để tìm khoảng nào đạo hàm dương.
 Cách 3 : CASIO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ta có \(y’ = 8{x^3}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng nào thì \(8{x^3} \ge 0\) trên khoảng đó nên ta vào chức năng giải bất phương trình bậc 3 trên máy tính để giải phương trình này.

Kết quả ta được \(x \ge 0.\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Hàm số\(y = \sqrt {2 + x – {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng nào?

A. \(\left( {\frac{1}{2};\;2} \right)\)    B. \(\left( {\frac{{ – 1}}{2};\;2} \right)\)       C. \(\left( {2;\; + \infty } \right)\)      D. \(\left( { – 1;\;2} \right)\)

Bước 1: Nhập biểu thức \(\frac{d}{{dx}}{\left. {\left( {\sqrt {2 + X – {X^2}} } \right)} \right|_{x = X}}\) lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp các phím sau:

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.

– Nhấn phím CALE máy hỏi X? Ta chọn giá trị \(0.6 \in \left( {\frac{1}{2};\;2} \right)\)và nhấn dấu được kết quả:

– Suy ra \(f'(0.6) < 0\)nhưng chưa thể khẳng định được A là đáp án đúng.

Bước 3: Thử phương án B và D.

– Nhấn phím  máy hỏi X? Ta chọn giá trị \(0 \in \left( {\frac{{ – 1}}{2};\;2} \right)\)và nhấn dấu được kết quả:

– Suy ra \(f'(0) = 0.3535… > 0\) Vậy hàm số không nghịch biến trên các khoảng \(\left( {\frac{{ – 1}}{2};\;2} \right)\)và \(\left( { – 1;\;2} \right)\). Loại B và D.

Bước 4: Thử phương án C.

Nhấn phím  máy hỏi X? Ta chọn giá trị \(x = 3 \in \left( {2;\; + \infty } \right)\)và nhấn dấu Máy báo lỗi như sau:

– Suy ra không tồn tại \(f'(3)\). Loại C.

Vậy nhận đáp án A.

Như vậy, để tìm đáp án bài toán xét tính đơn điệu của hàm số ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính casio để tìm nhanh đáp án. Tuy nhiên với các hàm số đa thức cơ bản, việc sử dụng máy tính cầm tay không nhanh hơn việc sử dụng phương pháp thông thường. Xem lại bài viết

Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp để nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số.