Định nghĩa vectơ và các khái niệm liên quan

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng $AB.$ Nếu ta chọn điểm $A$ làm điểu đầu, điểm $B$ là điểm cuối thì đoạn thẳng $AB$ có hướng từ $A$ đến $B.$ Khi đó ta nói $AB$ là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

Vectơ có điểm đầu $A,$ điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow {AB} $ và đọc là “ vectơ A B “. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow {AB} $ ta vẽ đoạn thẳng $AB$ và đánh dấu mũi tên ở đầu nút $B.$

Vectơ còn được kí hiệu là $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec x,\,\,\vec y,\,\,…$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Ví dụ: Đường thẳng $MN$ là giá của vectơ $\overrightarrow {MN} $. Đường thẳng $AB$ là giá của vectơ $\overrightarrow {AB} $.

2. Hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng

Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt $A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.

Ví dụ:  Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng trong hình dưới đây.

Trả lời: Hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng phương và cùng hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow {PQ} $ và $\overrightarrow {RS} $ cùng phương và ngược hướng.

3. Hai vectơ bằng nhau và hai vectơ đối nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của $\overrightarrow {AB} $ được kí hiệu là $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|,$ như vậy $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB.$

Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec a = \vec b$

Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec a = -\vec b$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$. Gọi $D,\,\,E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,AC,\,\,AB$. Hãy chỉ ra các vectơ bằng $\overrightarrow {AF} $ và các vectơ đối của vectơ  $\overrightarrow {F{\rm{E}}} $.

Trả lời: Các vectơ bằng vectơ  $\overrightarrow {{\rm{AF}}} $ là: $\overrightarrow {FB} $, $\overrightarrow {E{\rm{D}}} $. Hay ta có:

$\overrightarrow {{\rm{AF}}} = \overrightarrow {FB} = \overrightarrow {E{\rm{D}}} $

Các vectơ đối của vectơ  $\overrightarrow {F{\rm{E}}} $ là: $\overrightarrow {EF} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {BD} $. Hay ta có:

$\overrightarrow {F{\rm{E}}} = – \overrightarrow {EF} ,\,\,\,\overrightarrow {F{\rm{E}}} = – \,\overrightarrow {CD} ,\,\,\,\overrightarrow {F{\rm{E}}} = – \overrightarrow {BD} $

Chú ý. 1. Khi cho trước vectơ $\vec a$ và điểm $O,$ thì ta luôn tìm được một điểm $A$ duy nhất sao cho $\overrightarrow {OA}  = \vec a.$

2. Với hai điểm $A$ và $B$ ta luôn có vectơ $\overrightarrow {BA} $ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AB} $. Hay ta có: $\overrightarrow {AB} = – \overrightarrow {BA} .$

4. Vectơ – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm $A$ bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là $A.$ Vectơ này được kí hiệu là $\overrightarrow {AA} $ và được gọi là vectơ – không.

Quy ước:

1. Vectơ-không có độ dài bằng 0.
2. Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

Xem thêm: 15 câu trắc nghiệm chủ đề vectơ – hình học 10